Um agrônomo utilizou um penetrômetro de impacto para mensurar a compactação do solo. Na sua coleta de dados, ele gerou 10 impactos e observou que a haste penetrou 16 cm no solo. Calcule a força de resistência do solo. Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Informações técnicas do equipamento:
Instrumento
Massa Total (\mathrm{Kg})
(haste + massa
dinâmica)
Massa
Dinâmica
(\mathrm{Kg})
Curso de
queda livre
(\mathrm{cm})
Penetrômetro
de impacto
8,2 7,2 40

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a força de resistência do solo, dada a coleta com um penetrômetro de impacto.
Informações fornecidas (peguei alguns dados da tabela/imagem do enunciado):
  • Número de impactos: 10.
  • Penetração total observada após os 10 impactos: 16\\ \mathrm{cm}.
  • Aceleração da gravidade adotada: g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Da tabela/imagem do equipamento: massa dinâmica (massa que cai) m_d=7,2\\ \mathrm{kg} (peguei este valor da tabela).
  • Da tabela/imagem do equipamento: curso de queda livre h=40\\ \mathrm{cm} (peguei este valor da tabela).
Observação importante: vou assumir que, em primeira aproximação (modelo ideal), toda a energia potencial gravítica da massa dinâmica por queda é dissipada vencendo a resistência do solo (ou seja, perdas por atrito no equipamento, ruído, deformações elásticas, etc., são desprezadas). Essa é a hipótese padrão em problemas básicos deste tipo.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Quando a massa dinâmica é elevada e solta, ela cai de altura h e perde energia potencial gravitacional. Essa energia potencial é
E_{\text{impacto}} = m_d \, g \, h,
onde:
  • E_{\text{impacto}} é a energia disponível por impacto (em joules, \mathrm{J}),
  • m_d é a massa dinâmica que cai (em \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2),
  • h é a altura de queda (em \mathrm{m}).
  • Essa energia é transformada em trabalho para vencer a força resistente média do solo F ao deslocar a haste uma distância s. O trabalho é
W = F \, s,
onde s é a penetração total (no caso, a distância total para os 10 impactos).
  • Se desprezarmos perdas, então a energia total fornecida pelas quedas é igual ao trabalho contra o solo:
E_{\text{total}} = W.
  • Para N impactos idênticos, E_{\text{total}} = N \cdot E_{\text{impacto}} = N \cdot m_d \, g \, h. Logo
F = \frac{N \, m_d \, g \, h}{s}.
Aqui defini claramente cada variável para você poder usar isso rapidamente na prova.

Passo 3

Conversão de unidades para o SI (método prático para cálculos sem erro):
  • Penetração total: 16\\ \mathrm{cm} = 0,16\\ \mathrm{m}. Escrevo em TeX: s=0,16\\ \mathrm{m}.
  • Curso de queda: 40\\ \mathrm{cm} = 0,40\\ \mathrm{m}. Escrevo: h=0,40\\ \mathrm{m}.
(Relembre: sempre transformar cm em m dividindo por 100.)

Passo 4

Calcular a energia de um impacto usando a fórmula E_{\text{impacto}} = m_d g h.
  • Peguei da tabela/imagem m_d=7,2\\ \mathrm{kg} e h=0,40\\ \mathrm{m}, e usei g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Substituindo:
E_{\text{impacto}} = 7,2 \cdot 9,8 \cdot 0,40.
Faço a conta em etapas para ficar claro:
  • Primeiro 7,2 \cdot 0,40 = 2,88.
  • Depois 2,88 \cdot 9,8 = 28,224.
    Portanto
E_{\text{impacto}} = 28,224\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Energia total fornecida pelos 10 impactos:
E_{\text{total}} = N \cdot E_{\text{impacto}} = 10 \cdot 28,224 = 282,24\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Relacionar energia total ao trabalho contra a força resistente e calcular F.
  • Usando W = F s e W = E_{\text{total}}, obtemos
F = \frac{E_{\text{total}}}{s} = \frac{282,24}{0,16}.
Faço a divisão:
F = 1764\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Interpretação e observações finais (didática e dicas de prova):
  • Resultado obtido: F=1764\\ \mathrm{N}, que também pode ser escrito como aproximadamente 1,76\\ \mathrm{kN}.
  • Lembre-se da hipótese usada: toda a energia de queda foi usada para penetrar o solo. Na prática, pode haver perdas (calor, deformação do equipamento), então esse cálculo fornece uma estimativa da força média resistente do solo. Se o enunciado desse um rendimento do sistema, bastaria dividir a energia disponível pelo rendimento antes de igualar ao trabalho.
  • Dica rápida para a prova: organize as unidades primeiro (tudo em SI), escreva claramente E = m g h e W = F s, e iguale. Isso evita erros bobos.

Resposta

1764\ \mathrm{N}

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