Um agrônomo utilizou um penetrômetro de impacto para mensurar a compactação do solo. Na sua coleta de dados, ele gerou 8 impactos e observou que a haste penetrou 14 cm no solo. Calcule a força de resistência do solo. Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Informações técnicas do equipamento:
Instrumento
Massa Total (\mathrm{Kg})
(haste + massa
dinâmica)
Massa
Dinâmica
(\mathrm{Kg})
Curso de
queda livre
(\mathrm{cm})
Penetrômetro
de impacto
8,2 7,2 40

Passo 1

O que o problema pede: calcular a força de resistência do solo (a força média resistiva que impede a penetração da haste) a partir dos dados da prova com o penetrômetro.
Dados fornecidos (peguei os números da tabela apresentada no enunciado):
  • Número de impactos: 8.
  • Penetração total observada: 14\\ \text{cm}.
  • Massa dinâmica (a massa que cai): 7{,}2\\ \mathrm{kg}. (peguei este valor da tabela do enunciado)
  • Massa total (haste + massa dinâmica): 8{,}2\\ \mathrm{kg}. (peguei este valor da tabela do enunciado)
  • Curso de queda livre: 40\\ \text{cm}. (peguei este valor da tabela do enunciado)
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (dado no enunciado).
Observação sobre a imagem que foi enviada junto: a imagem contém outra tabela com valores ligeiramente diferentes (massa da haste 1{,}2\\ \mathrm{kg} e massa dinâmica 6{,}0\\ \mathrm{kg}, curso 40\\ \text{cm}). Vou usar os valores que estão explicitamente na tabela do enunciado ( m_{\text{din}}=7{,}2\\ \mathrm{kg}). Se a intenção fosse usar os números da imagem, o resultado numérico mudaria — eu mostro isso depois como cálculo alternativo.

Passo 2

Princípio físico e hipótese de trabalho (explicação didática):
  • A massa dinâmica é elevada e solta de uma altura h; ao cair ela tem energia potencial gravitacional que, ao atingir o solo via impacto na haste, é convertida em trabalho para vencer a resistência do solo (além de perdas reais, que aqui vamos desprezar conforme o enunciado típico desse tipo de exercício).
  • Energia potencial gravitacional do bloco antes da queda: \,E_{\text{pot}} = m_{\text{din}}\,g\,h\,. Onde:
    • m_{\text{din}} é a massa dinâmica que cai (em \mathrm{kg}),
    • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
    • h é a altura de queda (em \mathrm{m}).
  • Trabalho realizado contra a força resistiva média do solo F em uma penetração s é \,W = F\,s\,.
  • Aproximação usual para este tipo de problema: energia disponível por impacto é totalmente gasta vencendo a resistência do solo, logo por impacto vale m_{\text{din}} g h = F \, s. Com vários impactos que produzem penetração total, usamos a penetração média por impacto.

Passo 3

Converter unidades e calcular penetração média por impacto:
  • Penetração total: \,14\\ \text{cm} = 0{,}14\\ \mathrm{m}.
  • Número de impactos: \,8.
  • Penetração média por impacto \,s é \,s = \dfrac{\text{penetração total}}{\text{nº impactos}} = \dfrac{0{,}14}{8}\\ \mathrm{m}.çãº
  • Cálculo: s = \dfrac{0{,}14}{8} = 0{,}0175\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a energia potencial por impacto (explicando a fórmula):
  • Fórmula: \,E = m_{\text{din}}\,g\,h\,.
    • E é a energia disponível por impacto (em joules, \mathrm{J}),
    • m_{\text{din}}=7{,}2\\ \mathrm{kg} (valor da tabela do enunciado),
    • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},
    • h=40\\ \text{cm}=0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo: E = 7{,}2 \times 9{,}8 \times 0{,}40.
  • Calcule passo a passo: 9{,}8\times0{,}40 = 3{,}92. Então 7{,}2\times3{,}92 = 28{,}224.
  • Resultado: E = 28{,}224\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Relação trabalho-energia e cálculo da força resistiva média:
  • Pelo modelo adotado, trabalho por impacto W = F\,s deve igualar E. Logo: F = \dfrac{E}{s}.
  • Usando E=28{,}224\\ \mathrm{J} e s=0{,}0175\\ \mathrm{m}: F = \dfrac{28{,}224}{0{,}0175}.
  • Dividindo: 28{,}224 \div 0{,}0175 = 1\,612{,}8.
  • Portanto o valor numérico obtido para a força resistiva média é F = 1\,612{,}8\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Observação extra (confirmação/variante caso os valores da imagem fossem os pretendidos):
  • Se em vez de m_{\text{din}}=7{,}2\\ \mathrm{kg} fosse usada a massa dinâmica indicada na imagem ( m_{\text{din}}=6{,}0\\ \mathrm{kg}), então: E_{\text{alt}} = 6{,}0\times9{,}8\times0{,}40 = 23{,}52\\ \mathrm{J},
e a força seria F_{\text{alt}} = \dfrac{23{,}52}{0{,}0175} = 1\,344{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Ou seja, dependendo da massa dinâmica usada, o resultado muda (valor calculado acima usa os dados que informei que peguei da tabela do enunciado).

Resposta

1{,}613\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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