Água a 20^{\circ} \mathrm{C} é bombeada de um grande reservatório para um segundo grande reservatório com o nível da água 42 m mais alto que o nível da água do reservatório inferior. Ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera e possuem variações desprezíveis nos níveis de água. Uma bomba com rendimento de 85 \% é responsável pelo bombeamento da água entre os reservatórios a uma vazão volumétrica de 0,02 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O tubo que une os dois reservatórios possui comprimento total de 80 m , diâmetro de 10 cm e é feito de ferro fundido. A entrada do tubo é do tipo com canto vivo e a saída é abrupta. Com base nessas informações, calcule a potência no eixo da bomba. R: \mathbf{1 1 , 4} \mathbf{~ k W}

Passo 1

Resumindo o enunciado: água a 20^\circ\mathrm{C} é bombeada de um reservatório para outro que está 42\:\mathrm{m} acima, com vazão volumétrica Q=0,02\:\mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O tubo tem comprimento L=80\:\mathrm{m}, diâmetro D=0,10\:\mathrm{m} e é de ferro fundido, com entrada de canto vivo e saída abrupta. A bomba tem rendimento \eta=0,85. Para achar a potência no eixo, vamos aplicar a equação de energia (Bernoulli modificado), computar as perdas de carga por atrito e localizadas e, em seguida, calcular a potência hidráulica e a potência no eixo.

Passo 2

Calcular a velocidade média e o número de Reynolds. A área da seção transversal é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0,10)^2}{4} = 7,85\times10^{-3}\:\mathrm{m}^2,
portanto
v = \frac{Q}{A} = \frac{0,02}{7,85\times10^{-3}} = 2,55\:\mathrm{m/s}.
Com viscosidade cinemática \nu=1,0\times10^{-6}\:\mathrm{m}^2/\mathrm{s}, o número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{vD}{\nu} = \frac{2,55\times0,10}{1,0\times10^{-6}} = 2,55\times10^{5},
indicando escoamento totalmente turbulento.

Passo 3

Determinar o fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain. A rugosidade do ferro fundido é \varepsilon\approx0,26\:\mathrm{mm}, logo
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0,00026}{0,10} = 2,6\times10^{-3}.
A fórmula de Swamee–Jain fornece
f = \frac{0,25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3,7D} + \tfrac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\bigr)\bigr]^2} \approx0,026.
A perda de carga por atrito é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} =0,026\times\frac{80}{0,10}\times\frac{(2,55)^2}{2\times9,81} \approx6,86\:\mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as perdas localizadas na entrada e na saída. Os coeficientes são K_\mathrm{ent}=0,5 e K_\mathrm{sai}=1, portanto
h_\mathrm{loc} = (K_\mathrm{ent}+K_\mathrm{sai})\,\frac{v^2}{2g} =(0,5+1)\times\frac{(2,55)^2}{2\times9,81} \approx0,50\:\mathrm{m}.

Passo 5

Somar todas as componentes da carga que a bomba deve vencer:
H_\mathrm{tot} = \Delta z + h_f + h_\mathrm{loc} =42 + 6,86 + 0,50 = 49,36\:\mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a potência hidráulica e, em seguida, a potência no eixo. A potência hidráulica é
P_h = \rho\,g\,Q\,H_\mathrm{tot} =1000\times9,81\times0,02\times49,36 \approx9,68\times10^{3}\:\mathrm{W}.
Dividindo pelo rendimento, a potência no eixo da bomba é
P_e = \frac{P_h}{\eta} = \frac{9,68\times10^{3}}{0,85} \approx1,14\times10^{4}\:\mathrm{W}.

Resposta

A potência no eixo da bomba é aproximadamente 11,4\:\mathrm{kW}.

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