A superfície de um duto circular aquecido é mantida a uma temperatura uniforme de 80^{\circ} \mathrm{C}. Água atravessa o duto com vazão mássica de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O duto possui diâmetro interno de 3 cm e comprimento de 5 m . A temperatura de mistura da água na seção de entrada é igual a 10^{\circ} \mathrm{C}. Estime a temperatura de mistura da água na seção de saída do duto quando o coeficiente médio de transferência de calor é igual a 11.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C} . \mathbf{R}: \mathbf{4 2 , 3 4}{ }^{\circ} \mathbf{C}

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de água com vazão mássica \dot m = 2\,\mathrm{kg/s} num duto circular de diâmetro interno D = 0{,}03\,\mathrm{m} e comprimento L = 5\,\mathrm{m}. A parede do duto está mantida à temperatura uniforme T_s = 80^{\circ}\mathrm{C} e a água entra com temperatura T_i = 10^{\circ}\mathrm{C}. O coeficiente médio de transferência de calor convectiva é h = 11000\,\mathrm{W/(m^2\,^{\circ}C)}. Vamos estimar a temperatura de saída T_o usando o modelo de escoamento em regime permanente e temperatura de parede constante.

Passo 2

Em regime permanente, num elemento de comprimento dx ao longo do duto o balanço de energia diz que a potência transportada pela água varia porque recebe calor convectivo da parede:
\dot m\,c_p\,dT = h\,P\,(T_s - T)\,dx,
onde c_p é o calor específico da água (assumimos c_p = 4180\,\mathrm{J/(kg\,K)}) e P é o perímetro interno do duto. Dividindo ambos os lados por \dot m\,c_p e por dx obtemos a equação diferencial
\frac{dT}{dx} = \frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\,\bigl(T_s - T\bigr).

Passo 3

Integramos a equação diferencial entre a seção de entrada x=0, T=T_i e a de saída x=L, T=T_o. Isso leva a
\int_{T_i}^{T_o}\frac{dT}{T_s - T} = \frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p},
cuja solução é
T_o - T_s = \bigl(T_i - T_s\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr).

Passo 4

Calculamos o perímetro interno P = \pi D = \pi\times0{,}03 = 0{,}09425\,\mathrm{m} e o número de unidades de transferência de calor
\mathrm{NTU} = \frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p} = \frac{11000\times0{,}09425\times5}{2\times4180} \approx 0{,}6198.
Logo,
T_o = T_s + (T_i - T_s)\,\exp(-0{,}6198) = 80 + (10-80)\times0{,}5387 \approx 42{,}34^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura de saída do duto é aproximadamente 42,34^{\circ}\mathrm{C}.

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