Um painel solar montado em uma aeronave espacial tem formato de placa plana com um \mathbf{1} \mathbf{m}^{\mathbf{2}} de área superficial em cada uma das suas faces. Sabe-se que \mathbf{1 2 \%} da energia solar absorvida é convertida em energia elétrica, e é enviada à aeronave continuamente. O lado do painel que contém o lado fotovoltaico tem emissividade de \mathbf{0 , 8} e uma absortividade solar igual a \mathbf{0 , 8}. A parte de trás do painel tem emissividade de \mathbf{0 , 7}. O conjunto está orientado de forma a estar normal à irradiação solar de \mathbf{1 5 0 0} \mathbf{W} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}}. A transmissividade do painel é igual a zero. Determine a temperatura em regime permanente do painel. Admita que o painel solar seja uma fina placa com temperatura uniforme e que não há trocas térmicas por radiação com nenhuma outra fonte (além do Sol). Resposta: \mathbf{6 0 , 8}{ }^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Área de cada face do painel: \,1{,}0\\ \mathrm{m^2}.
    • Irradiação solar normal ao painel: \,1500\\ \mathrm{W/m^2}.
    • Absorptividade solar da face fotovoltaica (frontal): \alpha_{\rm f}=0{,}8.
    • Emissividade da face frontal: \epsilon_{\rm f}=0{,}8.
    • Emissividade da face traseira: \epsilon_{\rm b}=0{,}7.
    • Transmissividade do painel: \tau=0 (painel opaco).
    • Fração da energia solar absorvida convertida em eletricidade e retirada: 12\%.
    • O painel é fino, com temperatura uniforme T (regime permanente) e não troca radiação com outras fontes além do Sol.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura em regime permanente do painel (em ^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Princípio físico e equação de balanço de energia (ideia didática).
  • Em regime permanente a potência líquida absorvida que permanece como calor deve ser igual à potência emitida por radiação pelas duas faces.
  • A potência solar absorvida pela face frontal é dada por \,P_{\rm abs}=\alpha_{\rm f}\,G\,A, onde:
    • \alpha_{\rm f} é a absorptividade frontal,
    • G é a irradiância solar ( \mathrm{W/m^2}),
    • A é a área da face ( \mathrm{m^2}).
  • Parte dessa potência é convertida em eletricidade: P_{\rm el}=0{,}12\,P_{\rm abs}. Essa potência elétrica sai do painel e não aquece o painel.
  • A potência que aquece o painel é, portanto, P_{\rm heat}=P_{\rm abs}-P_{\rm el}=(1-0{,}12)P_{\rm abs}=0{,}88\,P_{\rm abs}.
  • A emissão térmica de cada face, por Stefan–Boltzmann, é \,P_{\rm rad,face}=\epsilon\,\sigma\,A\,T^{4}, onde:
    • \epsilon é a emissividade da face,
    • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Vou usar \displaystyle \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • Como as duas faces (frontal e traseira) radiam para o espaço e têm emissividades diferentes, a potência total radiada é P_{\rm rad}=(\epsilon_{\rm f}+\epsilon_{\rm b})\,\sigma\,A\,T^{4}.
  • Balanço de energia em regime permanente: P_{\rm heat}=P_{\rm rad}.

Passo 3

Calcular a potência absorvida e a potência que aquece o painel.
  • Potência solar incidente na face frontal: P_{\rm inc}=G\,A=1500\cdot 1{,}0 = 1500\\ \mathrm{W}.(estou escrevendo 1500 dentro de ambiente matemático conforme pedido).
  • Potência absorvida pela face frontal: P_{\rm abs}=\alpha_{\rm f} G A = 0{,}8\cdot 1500\cdot 1{,}0 = 1200\\ \mathrm{W}.
  • Potência convertida em eletricidade (removida): P_{\rm el}=0{,}12\cdot P_{\rm abs}=0{,}12\cdot 1200 = 144\\ \mathrm{W}.
  • Potência restante que aquece o painel: P_{\rm heat}=P_{\rm abs}-P_{\rm el}=1200-144 = 1056\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Escrever a equação do balanço e isolar T.
  • Igualando aquecimento e radiação: 1056 = (\epsilon_{\rm f}+\epsilon_{\rm b})\,\sigma\,A\,T^{4}.
  • Somando as emissividades e substituindo \sigma e A: \epsilon_{\rm f}+\epsilon_{\rm b}=0{,}8+0{,}7=1{,}5,
1056 = 1{,}5\cdot (5{,}67\times10^{-8})\cdot 1{,}0\cdot T^{4}.
  • Isolando T^{4}: T^{4}=\dfrac{1056}{1{,}5\cdot 5{,}67\times10^{-8}}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcular o denominador: 1{,}5\cdot 5{,}67\times10^{-8}=8{,}505\times10^{-8}.
  • Portanto T^{4}=\dfrac{1056}{8{,}505\times10^{-8}}\approx 1{,}2417\times10^{10}.
  • Tomando duas raízes quadradas sucessivas para obter T: T^{2}=\sqrt{1{,}2417\times10^{10}}\approx 1{,}11434\times10^{5},
T=\sqrt{1{,}11434\times10^{5}}\approx 333{,}9\\ \mathrm{K}.
  • Convertendo para graus Celsius: T_{\rm C}=T-273{,}15\approx 333{,}9-273{,}15\approx 60{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

60{,}8^\circ\mathrm{C}

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