Quando água é bombeada através de uma tubulação A, com uma vazão de 200 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, a queda de pressão de pressão é \Delta \mathrm{P}_{\mathrm{A}}, e através de uma tubulação B , com uma vazão de 150 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, a queda de pressão é 50 kPa . Determine a queda de pressão (em kPa) que ocorre quando 170 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água são bombeados através das duas tubulações, se elas são conectadas:
a) Em série; (valor: 0,25)
b) Em paralelo; (valor: 0,25 )
c) No caso de ligação em paralelo, determine a vazão \mathrm{Q}_{\mathrm{A}}, em \mathrm{L} / \mathrm{s}; (valor: 0,25 )
d) No caso de ligação em paralelo, determine a vazão \mathrm{Q}_{\mathrm{B}}, em \mathrm{L} / \mathrm{s}; (valor: 0,25 )
Considere os seguintes dados:
i. Queda de pressão na tubulação \mathrm{A}=4
ii. Use a equação de Darcy-Weisbach;
iii. Viscosidade cinemática da água, v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s};
iv. Massa específica da água, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3};
v. Aceleração da gravidade, \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a queda de pressão quando um caudal total de 170\\ \mathrm{L/s} percorre duas tubulações A e B ligadas (a) em série e (b) em paralelo; e, no caso paralelo, que eu determine as vazões em cada ramo Q_A e Q_B (em \mathrm{L/s}).\n
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Vazão em }A\text{ (condição conhecida)}: Q_{A0}=200\\ \mathrm{L/s}=0,2\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Queda em }A\text{ correspondente: } \Delta P_{A0}=4\\ \text{kPa},\quad\text{(peguei este valor do item (i))}\\\ &\text{Vazão em }B\text{ (condição conhecida)}: Q_{B0}=150\\ \mathrm{L/s}=0,15\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Queda em }B\text{ correspondente: } \Delta P_{B0}=50\\ \text{kPa},\\\ &\text{Vazão total a analisar: } Q_{tot}=170\\ \mathrm{L/s}=0,17\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Outros dados (para referência): } v=10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\\ \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\ g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}
Passo 2
Vou usar a equação de Darcy–Weisbach e a propriedade útil que dela vem: a queda de pressão em uma tubulação, quando geometria e rugosidade são constantes, escala com o quadrado da vazão volumétrica. Explico passo a passo:\n
A equação de Darcy–Weisbach (em forma de perda de carga em pressão) é
\Delta P \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde f é o fator de atrito adimensional, L comprimento, D diâmetro, \rho densidade e V velocidade média do fluido.\n
Como a velocidade média é proporcional à vazão volumétrica Q por V=Q/A (com A área da secção), substituindo obtemos uma dependência do tipo
\Delta P \;=\; \underbrace{\left(f\frac{L}{D}\frac{\rho}{2A^{2}}\right)}_{k}\;Q^{2},
ou seja
\Delta P = k\,Q^{2},
onde k é uma constante que incorpora geometricamente a tubulação (para cada tubulação, k é diferente). Essa forma é muito prática: conhecendo \Delta P para uma Q conhecida, eu obtenho k e posso prever \Delta P para outra Q. Note que todos os Q devem estar em unidades consistentes (aqui uso \mathrm{m^3/s}) e \Delta P em \mathrm{kPa} (ou \mathrm{Pa}) — desde que eu use sempre as mesmas unidades para k.
Passo 3
Determino as constantes k_A e k_B a partir das condições conhecidas.\n
Converto vazões para \mathrm{m^3/s}:
Caso (a) — tubulações em série.\n
Em série a vazão que passa por cada tubulação é a mesma e igual à vazão total: Q=Q_{tot}=0,17\\ \mathrm{m^3/s}. A queda total é a soma das quedas em cada trecho:
Interpretação rápida: em série as perdas somam e por isso a queda é relativamente grande.
Passo 5
Caso (b) — tubulações em paralelo.\n
Em paralelo a queda de pressão nas duas tubulações é a mesma (vamos chamar de \Delta P_p), e as vazões individuais Q_A e Q_B satisfazem
Observação: em paralelo a queda fica pequena pois a maior parte do caudal preferirá o ramo de menor resistência (no nosso caso, A tem muita menor resistência relativa a B).
Passo 6
Itens (c) e (d) — vazões em cada ramo no caso paralelo.\n
Com \Delta P_p já encontrado, as vazões são