Quando água é bombeada através de uma tubulação A, com uma vazão de 200 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, a queda de pressão de pressão é \Delta \mathrm{P}_{\mathrm{A}}, e através de uma tubulação B , com uma vazão de 150 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, a queda de pressão é 50 kPa . Determine a queda de pressão (em kPa) que ocorre quando 170 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água são bombeados através das duas tubulações, se elas são conectadas:
a) Em série; (valor: 0,25)
b) Em paralelo; (valor: 0,25 )
c) No caso de ligação em paralelo, determine a vazão \mathrm{Q}_{\mathrm{A}}, em \mathrm{L} / \mathrm{s}; (valor: 0,25 )
d) No caso de ligação em paralelo, determine a vazão \mathrm{Q}_{\mathrm{B}}, em \mathrm{L} / \mathrm{s}; (valor: 0,25 )
Considere os seguintes dados:
i. Queda de pressão na tubulação \mathrm{A}=4
ii. Use a equação de Darcy-Weisbach;
iii. Viscosidade cinemática da água, v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s};
iv. Massa específica da água, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3};
v. Aceleração da gravidade, \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a queda de pressão quando um caudal total de 170\\ \mathrm{L/s} percorre duas tubulações A e B ligadas (a) em série e (b) em paralelo; e, no caso paralelo, que eu determine as vazões em cada ramo Q_A e Q_B (em \mathrm{L/s}).\n
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Vazão em }A\text{ (condição conhecida)}: Q_{A0}=200\\ \mathrm{L/s}=0,2\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Queda em }A\text{ correspondente: } \Delta P_{A0}=4\\ \text{kPa},\quad\text{(peguei este valor do item (i))}\\\ &\text{Vazão em }B\text{ (condição conhecida)}: Q_{B0}=150\\ \mathrm{L/s}=0,15\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Queda em }B\text{ correspondente: } \Delta P_{B0}=50\\ \text{kPa},\\\ &\text{Vazão total a analisar: } Q_{tot}=170\\ \mathrm{L/s}=0,17\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Outros dados (para referência): } v=10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\\ \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\ g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}ãçããçããê

Passo 2

Vou usar a equação de Darcy–Weisbach e a propriedade útil que dela vem: a queda de pressão em uma tubulação, quando geometria e rugosidade são constantes, escala com o quadrado da vazão volumétrica. Explico passo a passo:\n
A equação de Darcy–Weisbach (em forma de perda de carga em pressão) é
\Delta P \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde f é o fator de atrito adimensional, L comprimento, D diâmetro, \rho densidade e V velocidade média do fluido.\n
Como a velocidade média é proporcional à vazão volumétrica Q por V=Q/A (com A área da secção), substituindo obtemos uma dependência do tipo
\Delta P \;=\; \underbrace{\left(f\frac{L}{D}\frac{\rho}{2A^{2}}\right)}_{k}\;Q^{2},
ou seja
\Delta P = k\,Q^{2},
onde k é uma constante que incorpora geometricamente a tubulação (para cada tubulação, k é diferente). Essa forma é muito prática: conhecendo \Delta P para uma Q conhecida, eu obtenho k e posso prever \Delta P para outra Q. Note que todos os Q devem estar em unidades consistentes (aqui uso \mathrm{m^3/s}) e \Delta P em \mathrm{kPa} (ou \mathrm{Pa}) — desde que eu use sempre as mesmas unidades para k.

Passo 3

Determino as constantes k_A e k_B a partir das condições conhecidas.\n
Converto vazões para \mathrm{m^3/s}:
Q_{A0}=200\\ \mathrm{L/s}=0,2\\ \mathrm{m^3/s},\qquad Q_{B0}=150\\ \mathrm{L/s}=0,15\\ \mathrm{m^3/s}.
Usando \Delta P = k Q^{2} temos
k_A=\frac{\Delta P_{A0}}{Q_{A0}^{2}}=\frac{4}{(0,2)^{2}}=\frac{4}{0,04}=100,
onde k_A tem unidade \mathrm{kPa}/(\mathrm{m^6/s^2}) (mas eu trabalho numericamente com valores em \mathrm{kPa} e \mathrm{m^3/s}).\n
Para B:
k_B=\frac{\Delta P_{B0}}{Q_{B0}^{2}}=\frac{50}{(0,15)^{2}}=\frac{50}{0,0225}\approx 2222{,}2222.

Passo 4

Caso (a) — tubulações em série.\n
Em série a vazão que passa por cada tubulação é a mesma e igual à vazão total: Q=Q_{tot}=0,17\\ \mathrm{m^3/s}. A queda total é a soma das quedas em cada trecho:
\Delta P_{\text{série}}=\Delta P_A(Q)+\Delta P_B(Q)=k_A Q^{2}+k_B Q^{2}=(k_A+k_B)Q^{2}.é
Calculo numérico:
Q^{2}=(0,17)^{2}=0,0289,
k_A+k_B=100+2222{,}2222=2322{,}2222,
\Delta P_{\text{série}}=2322{,}2222\times 0,0289\approx 67{,}11\\ \mathrm{kPa}.é
Interpretação rápida: em série as perdas somam e por isso a queda é relativamente grande.

Passo 5

Caso (b) — tubulações em paralelo.\n
Em paralelo a queda de pressão nas duas tubulações é a mesma (vamos chamar de \Delta P_p), e as vazões individuais Q_A e Q_B satisfazem
Q_A=\sqrt{\frac{\Delta P_p}{k_A}},\qquad Q_B=\sqrt{\frac{\Delta P_p}{k_B}}.
A condição de conservação de massa (vazão total conhecida) é
Q_{tot}=Q_A+Q_B=\sqrt{\frac{\Delta P_p}{k_A}}+\sqrt{\frac{\Delta P_p}{k_B}}.
Coloco \sqrt{\Delta P_p} em evidência:
Q_{tot}=\sqrt{\Delta P_p}\left(\frac{1}{\sqrt{k_A}}+\frac{1}{\sqrt{k_B}}\right).
Isolando \Delta P_p:
\sqrt{\Delta P_p}=\frac{Q_{tot}}{\dfrac{1}{\sqrt{k_A}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_B}}} \quad\Rightarrow\quad \Delta P_p=\left(\frac{Q_{tot}}{\dfrac{1}{\sqrt{k_A}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_B}}}\right)^{2}.
Agora calculo numericamente. Primeiro as raízes:
\sqrt{k_A}=\sqrt{100}=10,\qquad \sqrt{k_B}\approx 47{,}1405\\ (\text{aprox.}),
\frac{1}{\sqrt{k_A}}+\frac{1}{\sqrt{k_B}}=0{,}1+ \frac{1}{47{,}1405}\approx 0{,}1+0{,}021205\approx 0{,}121205.
Então
\sqrt{\Delta P_p}=\frac{0,17}{0{,}121205}\approx 1{,}4021,
\Delta P_p\approx (1{,}4021)^{2}\approx 1{,}97\\ \mathrm{kPa}.
Observação: em paralelo a queda fica pequena pois a maior parte do caudal preferirá o ramo de menor resistência (no nosso caso, A tem muita menor resistência relativa a B).

Passo 6

Itens (c) e (d) — vazões em cada ramo no caso paralelo.\n
Com \Delta P_p já encontrado, as vazões são
Q_A=\sqrt{\frac{\Delta P_p}{k_A}},\qquad Q_B=\sqrt{\frac{\Delta P_p}{k_B}}.
Usando \Delta P_p\approx 1{,}9660\\ \mathrm{kPa} (valor calculado mais preciso durante os passos):
Q_A=\sqrt{\frac{1{,}9660}{100}}=\sqrt{0{,}019660}\approx 0{,}1402\\ \mathrm{m^3/s}=140{,}22\\ \mathrm{L/s},
Q_B=\sqrt{\frac{1{,}9660}{2222{,}2222}}=\sqrt{0{,}0008847}\approx 0{,}0298\\ \mathrm{m^3/s}=29{,}78\\ \mathrm{L/s}.
Confiro que Q_A+Q_B\approx 140{,}22+29{,}78=170{,}00\\ \mathrm{L/s}, que é o Q_{tot} pedido — ótimo.

Resposta

(a) \Delta P_{\text{série}}\approx 67{,}11\\ \mathrm{kPa}é\n
(b) \Delta P_{\text{paralelo}}\approx 1{,}97\\ \mathrm{kPa}\n
(c) Q_{A}\approx 140{,}22\\ \mathrm{L/s}\n
(d) Q_{B}\approx 29{,}78\\ \mathrm{L/s}

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