Água de densidade 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e mercúrio de densidade 13,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} são colocados num tubo em U, de modo que a altura da coluna de mercúrio, medida a partir da superfície de separação, é 2 cm . Determine a altura da coluna de água medida a partir da mesma superfície.

Passo 1

O problema dá duas colunas em um tubo em U: água com densidade \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}á e mercúrio com densidade \rho_{\text{Hg}}=13{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}}. A altura da coluna de mercúrio, medida a partir da superfície de separação entre os líquidos, é h_{\text{Hg}}=2\\ \mathrm{cm}. A pergunta é: determinar a altura da coluna de água h_{\text{água}}á medida a partir da mesma superfície.
Observação implícita: as superfícies livres das duas colunas estão abertas à atmosfera (pressão igual em ambos os topos).

Passo 2

Conceito útil (pequena aula): pressão hidrostática numa coluna de fluido. Se numa coluna de fluido de densidade \rho a pressão na superfície livre é p_0, a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície é dada por
p = p_0 + \rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (unidade: \mathrm{g/cm^{3}} ou \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}), que aparecerá multiplicando ambas as colunas e depois cancelará;
  • h é a altura (profundidade) da coluna medida a partir da superfície livre até o ponto considerado (unidade compatível com \rho).
    Explicação intuitiva: quanto mais altura de fluido acima de um ponto, maior a pressão nesse ponto, proporcional a \rho e a h.

Passo 3

Aplicando isso ao ponto comum (a superfície de separação entre os líquidos): a pressão no ponto, vista do lado da água, é a pressão atmosférica p_{\text{atm}} acrescida de \rho_{\text{água}} g h_{\text{água}}áá. Do lado do mercúrio, a pressão no mesmo ponto é p_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}} g h_{\text{Hg}}. Como é o mesmo ponto físico, as pressões devem ser iguais. Portanto:
p_{\text{atm}} + \rho_{\text{água}} g h_{\text{água}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}} g h_{\text{Hg}}.áá

Passo 4

Simplificamos a equação cancelando p_{\text{atm}} e g (eles aparecem dos dois lados):
\rho_{\text{água}}\, h_{\text{água}} = \rho_{\text{Hg}}\, h_{\text{Hg}}.áá
Isolando h_{\text{água}}á,
h_{\text{água}} = \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{água}}}\, h_{\text{Hg}}.áá

Passo 5

Substituímos os valores numéricos fornecidos. Usamos as densidades em \mathrm{g/cm^{3}} e alturas em \mathrm{cm} (são unidades compatíveis, então não é necessário converter):
h_{\text{água}} = \frac{13{,}6}{1}\times 2\\ \mathrm{cm} = 27{,}2\\ \mathrm{cm}.á

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: como o mercúrio é muito mais denso que a água, uma coluna pequena de mercúrio equilibra uma coluna muito maior de água — por isso saímos com 27{,}2\\ \mathrm{cm} de água para equilibrar 2\\ \mathrm{cm} de mercúrio. Isso faz sentido físico e numérico.

Resposta

\,27{,}2\\ \mathrm{cm}

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