A água é descarregada de um tubo cilindrico com um a taxa de 465 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} . \mathrm{Em} um ponto do tubo, onde o raio é 2,05 \mathrm{~cm}, a pressão absoluta é 1,60 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Qual é o raio do tubo em um constrição onde a pressão absoluta se reduz para 1,20 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} ?

Passo 1

O enunciado trata de escoamento de água incompressível num tubo de seção variável. Temos vazão volumétrica \dot V=465\\ \mathrm{cm^3/s}, num ponto em que o raio é r_1=2,05\\ \mathrm{cm} e a pressão absoluta é P_1=1,60\times10^5\\ \mathrm{Pa}. Em outro ponto (a constrição) a pressão cai para P_2=1,20\times10^5\\ \mathrm{Pa} e queremos achar o raio r_2. Para resolver, vamos usar a equação da continuidade e o teorema de Bernoulli (desprezando variação de altura).

Passo 2

Primeiro, convertemos tudo para unidades SI e calculamos a velocidade em 1. \dot V = 465\\ \mathrm{cm^3/s} = 4{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s} r_1 = 2{,}05\\ \mathrm{cm} = 0{,}0205\\ \mathrm{m}
Área em 1:
A_1 = \pi r_1^2 = \pi\,(0{,}0205)^2 \approx 1{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade em 1:
v_1 = \frac{\dot V}{A_1} \approx \frac{4{,}65\times10^{-4}}{1{,}32\times10^{-3}} \approx 0{,}35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre os pontos 1 e 2, sem ganho de carga e sem diferença de altura:
P_1 + \tfrac12\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac12\rho v_2^2.
Isolando v_2 e usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
v_2 = \sqrt{v_1^2 + \frac{2\,(P_1 - P_2)}{\rho}} = \sqrt{(0{,}35)^2 + \frac{2\,(1{,}60-1{,}20)\times10^5}{1000}} \approx\sqrt{0{,}12 + 80} \approx 8{,}95\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

De volta à continuidade, em 2 vale \dot V = A_2\,v_2, então
A_2 = \frac{\dot V}{v_2} \approx \frac{4{,}65\times10^{-4}}{8{,}95} \approx 5{,}20\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
O raio em 2 é
r_2 = \sqrt{\frac{A_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{5{,}20\times10^{-5}}{\pi}} \approx 4{,}07\times10^{-3}\\ \mathrm{m} =0{,}407\\ \mathrm{cm}.

Resposta

O raio do tubo na constrição é aproximadamente r_2=0{,}407\\ \mathrm{cm}.

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