Calcule o momento angular resultante de um elétron que esteja posicionado na posição, \vec{r}=1,5 m \hat{\imath}+ 2,3 m \hat{\jmath}-2 m \hat{k} e velocidade, \vec{v}=-3.10^{4} m / s \hat{\imath}+5,3.10^{4} m / s \hat{k}. Lembre-se de que a massa do elétron, m_{e}=9,11 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado pede o momento angular \vec{L} de um elétron, definido por
\vec{L} \;=\; \vec{r}\times\vec{p} \quad\text{com}\quad \vec{p}=m_e\,\vec{v}.
Aqui usamos a massa do elétron m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}, o vetor posição \vec{r}=1{,}5\,\hat{\imath}+2{,}3\,\hat{\jmath}-2{,}0\,\hat{k} em metros e a velocidade \vec{v}=-3{,}0\times10^{4}\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}+5{,}3\times10^{4}\,\hat{k} em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Para achar \vec{L}, primeiro calculamos o vetor \vec{r}\times\vec{v} usando a regra do determinante:
\vec{r}\times\vec{v} =\bigl(r_yv_z-r_zv_y\bigr)\,\hat{\imath} -\bigl(r_xv_z-r_zv_x\bigr)\,\hat{\jmath} +\bigl(r_xv_y-r_yv_x\bigr)\,\hat{k}.
Substituindo r_x=1{,}5, r_y=2{,}3, r_z=-2{,}0 e v_x=-3{,}0\times10^4, v_y=0, v_z=5{,}3\times10^4:

Passo 3

Calculamos cada componente de \vec{r}\times\vec{v}:
(r_yv_z - r_zv_y) =2{,}3\times5{,}3\times10^4 - (-2{,}0)\times0 =1{,}219\times10^5,
-(r_xv_z - r_zv_x) =-\bigl(1{,}5\times5{,}3\times10^4 - (-2{,}0)\times(-3{,}0\times10^4)\bigr) =-1{,}95\times10^4,
(r_xv_y - r_yv_x) =1{,}5\times0 - 2{,}3\times(-3{,}0\times10^4) =6{,}90\times10^4.
Logo,
\vec{r}\times\vec{v} =1{,}219\times10^5\,\hat{\imath} -1{,}95\times10^4\,\hat{\jmath} +6{,}90\times10^4\,\hat{k} \quad(\mathrm{m^2/s}).

Passo 4

Finalmente, \vec{L}=m_e\,(\vec{r}\times\vec{v}). Multiplicando cada componente por m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}:
L_x =9{,}11\times10^{-31}\times1{,}219\times10^5 \approx1{,}11\times10^{-25},
L_y =9{,}11\times10^{-31}\times(-1{,}95\times10^4) \approx-1{,}78\times10^{-26},
L_z =9{,}11\times10^{-31}\times6{,}90\times10^4 \approx6{,}29\times10^{-26}.

Resposta

\vec{L} \approx\bigl(1{,}11\times10^{-25}\bigr)\,\hat{\imath} \;-\;\bigl(1{,}78\times10^{-26}\bigr)\,\hat{\jmath} \;+\;\bigl(6{,}29\times10^{-26}\bigr)\,\hat{k} \quad\bigl[\mathrm{kg\cdot m^2/s}\bigr].

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