Um cubo oco de aresta externa a e espesura das paredes x é feito de uma sólido de densidade \rho_{S}. Quando submerso em um liquido de densidade \rho_{L}\left(\rho_{L}<\rho_{S}\right), ele fica boiando de modo tal que a distância entre a superfície do líquido e a cara horizontal não submersa é d. Suponha que o sólido é ferro ( \rho_{S}=7,80 \times 10^{3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ), o líquido é agua ( \rho_{L}=1,0 \times 10^{3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ), a=1,00 \mathrm{~m} e d=10 \mathrm{~cm} e calcule a espesura das paredes do cubo em cm.

Passo 1

O enunciado descreve um cubo oco de aresta externa a e espessura das paredes x, feito de material de densidade \rho_{S}. Quando boia em líquido de densidade \rho_{L}, ele fica com a altura submersa de a-d, já que a face superior fica a uma distância d acima da superfície. Vamos usar o princípio de Arquimedes (empuxo = peso do fluido deslocado) e geometria de volumes para encontrar x.

Passo 2

A massa do cubo oco vem do volume do material sólido: volume externo menos volume da cavidade interna.
O volume externo é
V_{\text{ext}} = a^3
e o da cavidade, cada lado reduzido em 2x, é
V_{\text{int}} = (a - 2x)^3.
Logo, o volume do material vale
V_{\text{mat}} = a^3 - (a - 2x)^3
e a massa do cubo é
m = \rho_{S}\,V_{\text{mat}} = \rho_{S}\bigl[a^3 - (a - 2x)^3\bigr].

Passo 3

Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo é o peso do volume de líquido deslocado, que é
E = \rho_{L}\,g \times (\text{volume submerso}) = \rho_{L}\,g \,a^2\,(a - d).
No equilíbrio, empuxo = peso do cubo:
\rho_{S}\bigl[a^3 - (a - 2x)^3\bigr]g = \rho_{L}\,a^2\,(a - d)\,g.
Cancelando g, obtemos
\rho_{S}\bigl[a^3 - (a - 2x)^3\bigr] = \rho_{L}\,a^2\,(a - d).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos \rho_{S}=7{,}80\times10^3, \rho_{L}=1{,}0\times10^3, a=1{,}00, d=0{,}10:
7{,}80\times10^3\bigl[1^3 - (1 - 2x)^3\bigr] = 1{,}0\times10^3 \times 1^2 \times (1 - 0{,}10).
O lado direito vale 1{,}0\times10^3\times0{,}90=900. Dividindo por 7{,}80\times10^3:
1 - (1 - 2x)^3 = \frac{900}{7800} = 0{,}1153846\approx0{,}1154.

Passo 5

Isolando o cubo:
(1 - 2x)^3 = 1 - 0{,}1154 = 0{,}8846 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 2x = \sqrt[3]{0{,}8846}\approx0{,}96.
Assim
2x = 1 - 0{,}96 = 0{,}04 \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}02\\ \mathrm{m}.

Resposta

A espessura das paredes é aproximadamente 2{,}0\\ \mathrm{cm}.

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