Água deve ser aquecida de 15 a 65^{\circ} \mathrm{C} enquanto escoa através de um tubo de 3 cm de diâmetro interno e 5 m de comprimento. O tubo é equipado com uma fita térmico (elétrica) capaz de fornecer aquecimento uniforme através da superficie do tubo. O exterior da fita é isolado de forma que toda a energia térmica é usada para o aquecimento da água. A vazão é de 10 litros por minuto. Determine a potência de aquecimento necessária para que o aquecimento se dè como desejado. Estime ainda a temperatura interna do tubo na saida. \quad Dados: C_{p}=4,175 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK} ; \rho=992,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; v=0,658.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; k=0,631 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{Pr}=4,32
R: 34,5 \mathrm{~kW} e 115^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede para aquecer água de 15\circC até 65\circC enquanto ela escoa em um tubo cilíndrico (diâmetro interno de 3 cm e comprimento de 5 m) usando uma fita térmica que fornece calor uniformemente na superfície externa do tubo. Precisamos:
  • Fazer balanço de energia para achar a potência de aquecimento \dot Q.
  • Calcular o coeficiente de transferência convectiva interna h usando correlação empírica (Dittus–Boelter).
  • A partir disso, estimar a temperatura da parede interna do tubo na saída.

Passo 2

Calcular vazão volumétrica e massa de água e, em seguida, a potência necessária para elevar sua temperatura.
A vazão volumétrica é
\dot V = 10\;\mathrm{L/min} = 1,6667\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/s}.
A massa que passa por segundo é
\dot m = \rho\,\dot V = 992{,}1\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\times1{,}6667\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/s} =0{,}1654\;\mathrm{kg/s}.
Pela primeira lei da termodinâmica (sem perdas):
\dot Q = \dot m\,C_p\,(T_{\rm out}-T_{\rm in}) =0{,}1654\;\mathrm{kg/s}\times4175\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\cdot K}}\times(65-15)\;\mathrm{K} \approx34545\;\mathrm{W}.

Passo 3

Determinar a velocidade média e o regime de escoamento para aplicar a correlação de convecção.
A área interna do tubo é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}03\;\mathrm{m})^2}{4} \approx7{,}069\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}.
Logo, a velocidade média é
U = \frac{\dot V}{A} \approx \frac{1{,}6667\times10^{-4}}{7{,}069\times10^{-4}} \approx0{,}236\;\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds vale
\mathrm{Re} = \frac{U\,D}{\nu} =\frac{0{,}236\;\mathrm{m/s}\times0{,}03\;\mathrm{m}}{0{,}658\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}} \approx1{,}08\times10^4,
ou seja, fluxo turbulento \mathrm{Re}>2300, permitindo usar Dittus–Boelter.

Passo 4

Calcular o número de Nusselt e, em seguida, o coeficiente convectivo h.
Para aquecimento do fluido:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4} =0{,}023\,(1{,}08\times10^4)^{0{,}8}\,(4{,}32)^{0{,}4} \approx70.
Assim,
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} =\frac{70\times0{,}631\;\mathrm{W/(m\cdot K)}}{0{,}03\;\mathrm{m}} \approx1470\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 5

Estimar a temperatura da parede interna na saída.
A área externa (e interna) do tubo é
A_s = \pi\,D\,L = \pi\times0{,}03\;\mathrm{m}\times5\;\mathrm{m} \approx0{,}4712\;\mathrm{m^2}.
O fluxo de calor por área é
q'' = \frac{\dot Q}{A_s} =\frac{34545\;\mathrm{W}}{0{,}4712\;\mathrm{m^2}} \approx7,33\times10^4\;\mathrm{W/m^2}.
A diferença entre a temperatura da parede interna T_w e a temperatura de massa do fluido na saída 65\;^\circ\mathrm{C} é
T_w - 65 = \frac{q''}{h} \approx \frac{7,33\times10^4}{1470} \approx49{,}8\;^\circ\mathrm{C},
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T_w \approx65 + 49{,}8 \approx115\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Potência necessária: 34{,}5\;\mathrm{kW}
Temperatura da parede interna na saída: 115\;^\circ\mathrm{C}

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