Determinar a profundidade de escoamento num canal circular ( \mathrm{D}=2 \mathrm{~m} ) que conduz urna vazão de 3 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}, conhecendo-se 10=0,0004 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e \mathrm{n}=0,013. Qual é a velocidade de escoamento?

Passo 1

O enunciado pede a profundidade de escoamento y num canal circular de diâmetro D=2{,}0\:\mathrm{m} que conduz vazão Q=3{,}0\:\mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O canal tem declividade S=0{,}0004 e coeficiente de Manning n=0{,}013. Vamos usar a fórmula de Manning para seções parcialmente cheias, que envolve a área molhada A(y), o perímetro molhado P(y) e o raio hidráulico R_h(y)=A/P.

Passo 2

Expressamos A e P em função de y. Seja R=D/2=1{,}0\:\mathrm{m} e defina o ângulo central
2\alpha \quad\text{com}\quad \alpha = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{R-y}{R}\bigr).
Então
A(y)=\frac{R^2}{2}\,\bigl(2\alpha - \sin(2\alpha)\bigr),
P(y)=2R\,\alpha,
R_h(y)=\frac{A(y)}{P(y)}.

Passo 3

A vazão dada pela fórmula de Manning é
Q=\frac{1}{n}\;A(y)\;\bigl[R_h(y)\bigr]^{2/3}\;S^{1/2}.
Substituímos Q=3, n=0{,}013 e S=0{,}0004. Para encontrar y resolvemos numericamente
3 \;=\;\frac{1}{0{,}013}\;A(y)\;\bigl[R_h(y)\bigr]^{2/3}\;(0{,}0004)^{1/2}.

Passo 4

Fazemos tentativas:
  • Em y=1{,}6\:\mathrm{m} obtém-se Q\approx2{,}98\:\mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Em y=1{,}65\:\mathrm{m} obtém-se Q\approx3{,}07\:\mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Logo a profundidade exata está entre 1{,}60 e 1{,}65\:\mathrm{m}.

Passo 5

Interpolando linearmente entre os dois valores de y
y\approx1{,}6 + \frac{3-2{,}98}{3{,}07-2{,}98}\,(1{,}65-1{,}6)\approx1{,}61\:\mathrm{m}.
Com esse y, calculamos a velocidade média
V=\frac{Q}{A(y)}\approx\frac{3{,}0}{2{,}71}\approx1{,}11\:\mathrm{m/s},
ou diretamente por
V=\frac{1}{n}\;[R_h(y)]^{2/3}\;S^{1/2}\approx1{,}11\:\mathrm{m/s}.

Resposta

Profundidade de escoamento y \approx 1{,}61\:\mathrm{m}.
Velocidade média V \approx 1{,}11\:\mathrm{m/s}.

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