Um preaquecedor emprega um feixe de tubos em arranjo alternado (staggered) com as mesmas características geométricas e operacionais do caso anterior: tubos com diâmetro externo de 10 mm e comprimento de 1,0 \mathrm{~m}, dispostos com 14 tubos por fila, passo transversal de 18 mm e passo longitudinal de 15 mm . O ar entra no sistema a 25^{\circ} \mathrm{C}, 1 \mathrm{~atm} e velocidade livre de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, enquanto vapor saturado a 100^{\circ} \mathrm{C} condensa no interior dos tubos, mantendo a temperatura do fluido quente constante.
Diferentemente da situação anterior, onde o número de filas era fixo, agora o projeto deve atender a uma temperatura de saída mínima exigida de 75^{\circ} \mathrm{C} (Tout,req \geq 75^{\circ} \mathrm{C} ). Esta especificação térmica torna o número de filas uma variável de projeto que deve ser determinada com base no desempenho térmico necessário para alcançar o aquecimento desejado do ar.

Determine:

a. O mínimo número de filas NL ,min necessário para que o ar atinja uma temperatura de saída de pelo menos 75^{\circ} \mathrm{C}.
b. Para o valor de NL,min encontrado, calcule:
  • A taxa de transferência de calor Q do sistema
  • A queda de pressão \Delta \mathrm{p} do ar ao atravessar o feixe tubular

Passo 1

Resumindo: temos um feixe de tubos em arranjo staggered com diâmetro externo D_o=10\,\text{mm}, comprimento L=1{,}0\,\text{m}, 14 tubos por fila, passo transversal P_T=18\,\text{mm} e passo longitudinal P_L=15\,\text{mm}. O ar entra a T_{i}=25^\circ\text{C}, p=1\,\text{atm}, velocidade livre u_\infty=5{,}0\,\text{m/s}; dentro dos tubos há vapor saturado a 100^\circ\text{C} (temperatura constante de 100\circC). Queremos achar o número mínimo de filas N_L para que T_{\text{out}}\ge75^\circ\text{C} e, para esse N_{L,\min}, calcular a taxa de calor Q e a queda de pressão \Delta p no ar.

Passo 2

Calcular a vazão mássica do ar. A área de escoamento é
A_{\text{flow}} = \bigl(14\,P_T\bigr)\times L =14\times0{,}018\,\text{m}\times1{,}0\,\text{m}=0{,}252\,\text{m}^2.
A densidade do ar a 25^\circ\text{C} e 1 atm é \rho=1{,}184\,\mathrm{kg/m^3}. Logo
\dot m_a =\rho\,u_\infty\,A_{\text{flow}} =1{,}184\cdot5{,}0\cdot0{,}252\approx1{,}49\;\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Energia necessária para aquecer o ar de 25 até 75^\circ\text{C}:
Q_{\text{req}} =\dot m_a \,c_{p,a}\,(T_{\text{out,req}}-T_i) =1{,}49\;\mathrm{kg/s}\times1006\;\mathrm{J/(kg\,K)} \times(75-25)\;\mathrm{K} \approx7{,}50\times10^4\;\mathrm{W}.

Passo 4

Diferença de temperatura equivalente \mathrm{LMTD} para fluxo cruzado com fluido quente constante:
\Delta T_1 =100-25=75\;\mathrm{K}, \quad \Delta T_2 =100-75=25\;\mathrm{K},
\Delta T_{\mathrm{lm}} =\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\bigl(\Delta T_1/\Delta T_2\bigr)} =\frac{75-25}{\ln(75/25)}=\frac{50}{\ln3}\approx45,5\;\mathrm{K}.

Passo 5

Área total de troca \displaystyle A_{\rm tot}=N_L\times A_{\rm fila}, em que
A_{\rm fila} =14\times\pi\,D_o\,L =14\times\pi\times0{,}01\,\mathrm{m}\times1{,}0\,\mathrm{m} \approx0{,}4398\;\mathrm{m^2}.
Para atender Q_{\rm req}=U\,A_{\rm tot}\,\Delta T_{\mathrm{lm}}, precisamos de
\bigl(UA\bigr)_{\rm req} =\frac{7{,}50\times10^4}{45,5}\approx1647\;\mathrm{W/K}.

Passo 6

Estimativa de U\approx h_{\rm ext} (resistência interna é muito grande \implies h_i alto e parede fina). Usamos as correlações de Kays e London para arranjo staggered:
– Número de Reynolds
\mathrm{Re} =\frac{\rho\,u_\infty\,D_o}{\mu} =\frac{1{,}184\times5{,}0\times0{,}01}{1{,}85\times10^{-5}} \approx3{,}21\times10^3,
– fator de j
j =2,58\,(P_T/D_o)^{-0,46}(P_L/D_o)^{-0,58}\,\mathrm{Re}^{-0,5}
com P_T/D_o=1{,}8, P_L/D_o=1{,}5, dá
j\approx0{,}0235,
– então
\mathrm{Nu} =j\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}^{1/3} \approx0{,}0235\times3206\times0{,}71^{1/3} \approx66{,}8,
– coeficiente externo
h_{\rm ext} =\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_o} =\frac{66{,}8\times0{,}0263}{0{,}01} \approx175,5\;\mathrm{W/(m^2\,K)}.
Logo U\approx175{,}5\;\mathrm{W/(m^2\,K)}.

Passo 7

Cada fila fornece
U\,A_{\rm fila} =175{,}5\times0{,}4398\approx77{,}2\;\mathrm{W/K}.
O número mínimo de filas é
N_{L,\min} =\left\lceil\frac{(UA)_{\rm req}}{U\,A_{\rm fila}}\right\rceil =\left\lceil\frac{1647}{77{,}2}\right\rceil =\lceil21{,}33\rceil =22.

Passo 8

Com N_L=22, a área total é A_{\rm tot}=22\times0{,}4398=9{,}68\;\mathrm{m^2} e
(UA)=175{,}5\times9{,}68=1{,}70\times10^3\;\mathrm{W/K}.
Assim
Q =(UA)\,\Delta T_{\mathrm{lm}} \approx1{,}70\times10^3\times45{,}5 \approx7{,}73\times10^4\;\mathrm{W} \;(77{,}3\;\mathrm{kW}).

Passo 9

Para a queda de pressão usamos a correlação de f para tubo em arranjo staggered:
f =3{,}60\,(P_T/D_o)^{-1,00}(P_L/D_o)^{-0,23}\,\mathrm{Re}^{-0,5} \approx0{,}0311.
O diâmetro hidráulico do canal é
D_h =\frac{4\,(P_T-D_o)\,L}{\pi\,D_o} =\frac{4\,(0{,}018-0{,}01})}{\pi\,0{,}01} \approx1{,}02\;\mathrm{m}.
O comprimento total nas-fileiras é L_{\rm filas}=N_L\,P_L=22\times0{,}015=0{,}33\,\mathrm{m}.
Logo, considerando \Delta p=2\,f\,(L_{\rm filas}/D_h)\,\tfrac{\rho u_\infty^2}{2}:
\Delta p =f\,\frac{L_{\rm filas}}{D_h}\,\rho\,u_\infty^2 \approx0{,}0311\times\frac{0{,}33}{1{,}02}\times1{,}184\times5^2 \approx0{,}30\;\mathrm{kPa}.

Resposta

a. N_{L,\min}=22 filas
b. Para N_L=22:
Q \approx77{,}3\;\mathrm{kW} \Delta p\approx0{,}30\;\mathrm{kPa}

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