Dimensione um canal trapezoidal, com taludes 2 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, declividade de fundo 10=0,001 \mathrm{m} / \mathrm{m}, com taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada, em boas condições,
para transportar em regime uniforme uma vazão de 8,0 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}, sujeita às seguintes condições:
a) A máxima altura d’água deve ser de 1,15 \mathrm{~m}.
b) A máxima velocidade média deve ser de 1,30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
c) A máxima largura na superfície livre deve ser de 8,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

Resumindo, queremos dimensionar um canal trapezoidal de talude 2\!H\!:\!1V, declividade de fundo S_0=0{,}001, para transportar Q=8{,}0\;\mathrm{m^3/s} em regime uniforme. O canal é em alvenaria de pedra (boas condições), sujeitando-se a três restrições:
  1. altura máxima d’água y_{\max}=1{,}15\;\mathrm{m},
  2. velocidade média máxima V_{\max}=1{,}30\;\mathrm{m/s},
  3. largura na superfície livre máxima B_{\max}=8{,}0\;\mathrm{m}.
    Para resolver vamos usar a definição geométrica do trapézio, a relação Q=VA para velocidade média e a expressão da área em função da largura do fundo.

Passo 2

Definimos as incógnitas e relações geométricas. Seja b a largura do fundo e y a lâmina d’água. Como y não pode ultrapassar 1{,}15, vamos adotar imediatamente
y = 1{,}15\;\mathrm{m}.
Para talude m=2, a largura na superfície livre é
B \;=\; b + 2\,m\,y \;=\; b + 4\,y.
A área da seção molhada é
A = b\,y + m\,y^2 = b\,(1{,}15) + 2\,(1{,}15)^2,
e a velocidade média satisfaz
V = \frac{Q}{A}\le V_{\max}.

Passo 3

Usando V\le1{,}30\;\mathrm{m/s} e Q=8\;\mathrm{m^3/s}, obtemos a área mínima:
A \;\ge\;\frac{Q}{V_{\max}} =\frac{8{,}0}{1{,}30} \approx6{,}1538\;\mathrm{m^2}.
Substituindo y=1{,}15 em A =1{,}15\,b + 2\,(1{,}15)^2, temos
1{,}15\,b + 2\,(1{,}15)^2 \;\ge\;6{,}1538 \;\Longrightarrow\; 1{,}15\,b \;\ge\;6{,}1538 - 2\,\bigl(1{,}15\bigr)^2 =6{,}1538 - 2{,}6450 =3{,}5088
\Longrightarrow\quad b \;\ge\;\frac{3{,}5088}{1{,}15} \approx3{,}0512\;\mathrm{m}.

Passo 4

Agora impomos a largura máxima na superfície livre B\le8{,}0\;\mathrm{m}. Como
B = b + 4\,y = b + 4\,(1{,}15) = b + 4{,}60,
deve valer
b + 4{,}60 \;\le\;8{,}0 \quad\Longrightarrow\quad b \;\le\;8{,}0 - 4{,}60 =3{,}40\;\mathrm{m}.

Passo 5

Combinando as duas desigualdades para b, ficamos com
3{,}0512 \;\le\; b \;\le\; 3{,}40.
Para minimizar custo de escavação e materiais, escolhemos o valor mínimo admissível:
b = 3{,}0512\;\mathrm{m} \approx3{,}05\;\mathrm{m}.

Passo 6

Conferindo todas as condições com b=3{,}05\;\mathrm{m} e y=1{,}15\;\mathrm{m}:
  • Área:
A = 1{,}15\cdot3{,}05 + 2\,(1{,}15)^2 =3{,}5075 + 2{,}6450 =6{,}1525\;\mathrm{m^2} \quad\Rightarrow\quad V = \frac{8}{6{,}1525}\approx1{,}30\;\mathrm{m/s}.
  • Largura na superfície:
B = 3{,}05 + 4\,\cdot1{,}15 = 7{,}65\;\mathrm{m}\;\le8{,}0\;\mathrm{m}.
  • Altura d’água já está no valor máximo permitido 1{,}15\;\mathrm{m}.
Todas as restrições são atendidas.

Resposta

Largura do fundo b=3{,}05\;\mathrm{m}, profundidade y=1{,}15\;\mathrm{m}, talude 2\!H\!:\!1V. A largura na superfície fica B=7{,}65\;\mathrm{m} e a velocidade média V=1{,}30\;\mathrm{m/s}.

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