Calcular a capacidade de vazão de um tubo áspero de concreto (
) com 3,0 m de diâmetro, sabendo que é permitida uma perda de carga unitária máxima de 2
de comprimento do tubo. Admitir viscosidade cinemática
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tubo de concreto com diâmetro de 3,0 metros e uma rugosidade de 0,6 mm. A gente precisa calcular qual é a capacidade de vazão desse tubo, ou seja, quanta água ele consegue transportar. Para isso, nos foi dada uma perda de carga máxima permitida de 2 metros por quilômetro de tubo e a viscosidade cinemática da água, que é $ \nu = 1 \times 10^{-6} , m^2/s $. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga e relacionar isso com a velocidade e a vazão do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é perda de carga. A perda de carga representa a perda de energia do fluido devido ao atrito com as paredes do tubo enquanto ele flui. A equação de Darcy-Weisbach relaciona essa perda de carga ($ h_f
D
V
L
f $):
Onde:
- $ h_f $ é a perda de carga,
- $ f $ é o fator de atrito,
- $ L $ é o comprimento do tubo,
- $ D $ é o diâmetro do tubo,
- $ V $ é a velocidade do fluido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
Passo 3
Como a perda de carga máxima permitida é de 2 metros por quilômetro, vamos converter isso para a mesma unidade usada na equação. Sabemos que:
Agora, podemos reescrever a equação de Darcy-Weisbach para relacionar $ \frac{h_f}{L} $ com a velocidade $ V $:
Substituindo $ \frac{h_f}{L} $ por 0,002:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o fator de atrito $ f
Re $) para determinar se o fluxo é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Onde $ \nu = 1 \times 10^{-6} , m^2/s $. No entanto, como ainda não conhecemos $ V $, vamos assumir que o fluxo é turbulento, já que tubos de grande diâmetro geralmente operam nessa condição. Para fluxo turbulento, podemos usar uma estimativa do fator de atrito. Uma aproximação comum para tubos lisos é $ f \approx 0,02 $. Como nosso tubo é áspero, o fator de atrito pode ser ligeiramente maior, mas para simplificação, vamos continuar com $ f = 0,02 $.
Passo 5
Com $ f = 0,02 $, podemos agora resolver a equação para encontrar $ V $:
Vamos isolar $ V^2 $:
Calculando os valores:
Então,
Passo 6
Agora que temos a velocidade do fluxo ($ V
Q $) usando a relação entre vazão, velocidade e área da seção transversal do tubo:
Onde $ A $ é a área da seção transversal, dada por:
Substituindo $ D = 3,0 , m $:
Passo 7
Agora, calculamos a vazão:
Resposta
A capacidade de vazão do tubo é aproximadamente 17,2 metros cúbicos por segundo.