Calcular a capacidade de vazão de um tubo áspero de concreto ( e=0,6 mm ) com 3,0 m de diâmetro, sabendo que é permitida uma perda de carga unitária máxima de 2 m / km de comprimento do tubo. Admitir viscosidade cinemática v=1 times 10^-6 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tubo de concreto com diâmetro de 3,0 metros e uma rugosidade de 0,6 mm. A gente precisa calcular qual é a capacidade de vazão desse tubo, ou seja, quanta água ele consegue transportar. Para isso, nos foi dada uma perda de carga máxima permitida de 2 metros por quilômetro de tubo e a viscosidade cinemática da água, que é $ \nu = 1 \times 10^{-6} , m^2/s $. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga e relacionar isso com a velocidade e a vazão do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é perda de carga. A perda de carga representa a perda de energia do fluido devido ao atrito com as paredes do tubo enquanto ele flui. A equação de Darcy-Weisbach relaciona essa perda de carga ($ h_f hf â D D V V L L f $):
f
Onde:
  • $ h_f $ é a perda de carga,
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento do tubo,
  • $ D $ é o diâmetro do tubo,
  • $ V $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).

Passo 3

Como a perda de carga máxima permitida é de 2 metros por quilômetro, vamos converter isso para a mesma unidade usada na equação. Sabemos que:
hfL = 2 , m1000 , m = 0,002 , m/m
Agora, podemos reescrever a equação de Darcy-Weisbach para relacionar $ \frac{h_f}{L} $ com a velocidade $ V $:
hfL
Substituindo $ \frac{h_f}{L} $ por 0,002:
V

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o fator de atrito $ f f ú Re $) para determinar se o fluxo é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Re
Onde $ \nu = 1 \times 10^{-6} , m^2/s $. No entanto, como ainda não conhecemos $ V $, vamos assumir que o fluxo é turbulento, já que tubos de grande diâmetro geralmente operam nessa condição. Para fluxo turbulento, podemos usar uma estimativa do fator de atrito. Uma aproximação comum para tubos lisos é $ f \approx 0,02 $. Como nosso tubo é áspero, o fator de atrito pode ser ligeiramente maior, mas para simplificação, vamos continuar com $ f = 0,02 $.

Passo 5

Com $ f = 0,02 $, podemos agora resolver a equação para encontrar $ V $:
f = 0,02
Vamos isolar $ V^2 $:
V
Calculando os valores:
0,002 = 0,02 cdot V^22 cdot 9,81 cdot 3,0
Então,
V^2

Passo 6

Agora que temos a velocidade do fluxo ($ V V ã Q $) usando a relação entre vazão, velocidade e área da seção transversal do tubo:
Q
Onde $ A $ é a área da seção transversal, dada por:
Q = V cdot A
Substituindo $ D = 3,0 , m $:
A

Passo 7

Agora, calculamos a vazão:
Q = 2,43 , m/s cdot 7,07 , m^2 approx 17,19 , m^3/s

Resposta

A capacidade de vazão do tubo é aproximadamente 17,2 metros cúbicos por segundo.

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