A água que entra em uma casa através de um cano com diâmetro de 2,0 cm, com uma pressão absoluta de
. Um cano com diâmetro de
conduz ao banheiro do segundo andar a
de altura. Sabendo que no cano de entrada a velocidade é igual a
, encontre a velocidade de escoamento, a pressão e a vazão volumétrica no banheiro.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem água entrando na casa por um cano com diâmetro de 2,0 cm e pressão de
Pa. Esse cano se ramifica para outro com diâmetro de 1,0 cm que vai até o banheiro no segundo andar, a 5,0 m de altura. A velocidade da água no cano de entrada é de 1,5 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas: a velocidade da água no cano que vai pro banheiro, a pressão nesse cano e a vazão volumétrica no banheiro. Para isso, vamos precisar usar duas principais ferramentas da física dos fluidos: a Lei da Continuidade e a Equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da água no cano do banheiro usando a Lei da Continuidade. Essa lei basicamente diz que, em um fluxo constante, o produto da área da seção transversal do cano pela velocidade do fluido é sempre o mesmo. A fórmula fica assim:
Onde:
-
e são as áreas dos canos de entrada e do banheiro, respectivamente. -
e são as velocidades da água nesses canos.
Primeiro, vamos calcular as áreas dos canos. A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio.
Para o cano de entrada:
Para o cano do banheiro:
Agora, aplicando a Lei da Continuidade:
Passo 3
Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a pressão no cano do banheiro. A equação de Bernoulli relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluxo. A fórmula é:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água ( ), -
é a velocidade, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Assumindo que o cano de entrada está no nível do solo (
) e o cano do banheiro está a 5,0 m de altura (
), temos:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na equação:
Passo 4
Por último, vamos calcular a vazão volumétrica no banheiro. A vazão volumétrica (
) é o volume de água que passa por um ponto por unidade de tempo, e é dada por:
Usando a área do cano do banheiro (
) e a velocidade que encontramos (
):
Resposta
A velocidade de escoamento no cano do banheiro é de aproximadamente 6,0 m/s, a pressão nesse cano é de
Pa, e a vazão volumétrica no banheiro é de
m³/s.