A água que entra em uma casa através de um cano com diâmetro de 2,0 cm, com uma pressão absoluta de 4,0 times 10^5 Pa. Um cano com diâmetro de 1,0 cm conduz ao banheiro do segundo andar a 5,0 m de altura. Sabendo que no cano de entrada a velocidade é igual a 1,5 m / s, encontre a velocidade de escoamento, a pressão e a vazão volumétrica no banheiro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem água entrando na casa por um cano com diâmetro de 2,0 cm e pressão de 4,0 times 10^5 Pa. Esse cano se ramifica para outro com diâmetro de 1,0 cm que vai até o banheiro no segundo andar, a 5,0 m de altura. A velocidade da água no cano de entrada é de 1,5 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas: a velocidade da água no cano que vai pro banheiro, a pressão nesse cano e a vazão volumétrica no banheiro. Para isso, vamos precisar usar duas principais ferramentas da física dos fluidos: a Lei da Continuidade e a Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da água no cano do banheiro usando a Lei da Continuidade. Essa lei basicamente diz que, em um fluxo constante, o produto da área da seção transversal do cano pela velocidade do fluido é sempre o mesmo. A fórmula fica assim:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • A1 e A2 são as áreas dos canos de entrada e do banheiro, respectivamente.
  • v1 e v2 são as velocidades da água nesses canos.
Primeiro, vamos calcular as áreas dos canos. A área de um círculo é dada por A = pi times r^2, onde r é o raio.
Para o cano de entrada:
d1 = 2,0 cm Rightarrow r1 = 1,0 cm = 0,01 m
A1 = pi times (0,01)^2 = 3,14 times 10^-4 m^2
Para o cano do banheiro:
d2 = 1,0 cm Rightarrow r2 = 0,5 cm = 0,005 m
A2 = pi times (0,005)^2 = 7,85 times 10^-5 m^2
Agora, aplicando a Lei da Continuidade:
3,14 times 10^-4 times 1,5 = 7,85 times 10^-5 times v2
v2 = 3,14 times 10^-4 times 1,57,85 times 10^-5 approx 6,0 m/s

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a pressão no cano do banheiro. A equação de Bernoulli relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluxo. A fórmula é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P é a pressão,
  • rho é a densidade da água ( approx 1000 kg/m^3),
  • v é a velocidade,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2),
  • h é a altura.
Assumindo que o cano de entrada está no nível do solo ( h1 = 0) e o cano do banheiro está a 5,0 m de altura ( h2 = 5,0 m), temos:
4,0 times 10^5 + 12 times 1000 times (1,5)^2 + 1000 times 9,81 times 0 = P2 + 12 times 1000 times (6,0)^2 + 1000 times 9,81 times 5,0
Vamos calcular cada termo:
12 times 1000 times (1,5)^2 = 1125 Pa
12 times 1000 times (6,0)^2 = 18000 Pa
1000 times 9,81 times 5,0 = 49050 Pa
Substituindo na equação:
4,0 times 10^5 + 1125 = P2 + 18000 + 49050
411250 = P2 + 67050
P2 = 411250 - 67050 = 344200 Pa

Passo 4

Por último, vamos calcular a vazão volumétrica no banheiro. A vazão volumétrica ( Q) é o volume de água que passa por um ponto por unidade de tempo, e é dada por:
Q = A times v
Usando a área do cano do banheiro ( A2 = 7,85 times 10^-5 m^2) e a velocidade que encontramos ( v2 = 6,0 m/s):
Q = 7,85 times 10^-5 times 6,0 approx 4,71 times 10^-4 m^3/s

Resposta

A velocidade de escoamento no cano do banheiro é de aproximadamente 6,0 m/s, a pressão nesse cano é de 3,44 times 10^5 Pa, e a vazão volumétrica no banheiro é de 4,71 times 10^-4 m³/s.

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