Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é de 200 m passa por uma base espacial a uma velocidade de 0,9c. Qual é o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma espaçonave que, quando está parada, tem um comprimento de 200 metros. Ela está passando por uma base espacial a uma velocidade de 0,9 vezes a velocidade da luz, ou seja,
. Precisamos descobrir quanto tempo os tripulantes da base vão medir entre o momento em que a proa (a frente) passa pela base e o momento em que a popa (a traseira) passa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, especificamente a dilatação do tempo e a contração do comprimento.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender que, na base espacial, a espaçonave está se movendo a uma velocidade de
. De acordo com a Relatividade Especial, objetos que se movem a velocidades próximas à da luz apresentam contração no comprimento na direção do movimento. A fórmula para a contração do comprimento é:
Onde:
-
é o comprimento observado na base espacial. -
é o comprimento de repouso da espaçonave (200 m). -
é a velocidade da espaçonave ( ). -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento
que a base espacial vai observar para a espaçonave:
Primeiro, calculamos $ (0,9)^2 = 0,81 $.
Então:
Isso significa que, para a base espacial, a espaçonave parece ter aproximadamente 87,178 metros de comprimento.
Passo 4
Agora, para encontrar o intervalo de tempo que a base espacial vai medir entre a passagem da proa e da popa, usamos a fórmula do tempo:
Onde:
-
é o intervalo de tempo. -
é o comprimento observado (87,178 m). -
é a velocidade da espaçonave ( ).
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular o denominador:
Agora, dividimos o comprimento por essa velocidade:
Ou seja, aproximadamente
segundos.
Resposta
O intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base é aproximadamente
segundos.