Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é de 200 m passa por uma base espacial a uma velocidade de 0,9c. Qual é o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma espaçonave que, quando está parada, tem um comprimento de 200 metros. Ela está passando por uma base espacial a uma velocidade de 0,9 vezes a velocidade da luz, ou seja, 0,9c. Precisamos descobrir quanto tempo os tripulantes da base vão medir entre o momento em que a proa (a frente) passa pela base e o momento em que a popa (a traseira) passa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, especificamente a dilatação do tempo e a contração do comprimento.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender que, na base espacial, a espaçonave está se movendo a uma velocidade de 0,9c. De acordo com a Relatividade Especial, objetos que se movem a velocidades próximas à da luz apresentam contração no comprimento na direção do movimento. A fórmula para a contração do comprimento é:
L = L0 raiz1 - v^2c^2
Onde:
  • L é o comprimento observado na base espacial.
  • L0 é o comprimento de repouso da espaçonave (200 m).
  • v é a velocidade da espaçonave ( 0,9c).
  • c é a velocidade da luz.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento L que a base espacial vai observar para a espaçonave:
L = 200 , m times raiz1 - (0,9)^2
Primeiro, calculamos $ (0,9)^2 = 0,81 $.
Então:
(0,9)^2 = 0,81
L = 200 , m times raiz1 - 0,81 = 200 , m times raiz0,19
Isso significa que, para a base espacial, a espaçonave parece ter aproximadamente 87,178 metros de comprimento.

Passo 4

Agora, para encontrar o intervalo de tempo que a base espacial vai medir entre a passagem da proa e da popa, usamos a fórmula do tempo:
De
Onde:
  • De é o intervalo de tempo.
  • L é o comprimento observado (87,178 m).
  • v é a velocidade da espaçonave ( 0,9c).
Substituindo os valores:
De

Passo 5

Vamos calcular o denominador:
0,9 times 3 times 10^8 , m/s = 2,7 times 10^8 , m/s
Agora, dividimos o comprimento por essa velocidade:
De
Ou seja, aproximadamente 3,227 times 10^-7 segundos.

Resposta

O intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base é aproximadamente 3,23 times 10^-7 segundos.

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