1. Água entra em um tanque de 2 litros a uma taxa de 3,0 \mathrm{~g} / \mathrm{s} e é retirada a uma taxa de 5,0 \mathrm{~g} / \mathrm{s}. O tanque inicialmente contém água pela metade.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (tudo extraído do enunciado):
  • Capacidade do tanque: 2\\ \mathrm{L}.
  • Taxa de entrada de água: 3{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}.
  • Taxa de saída de água: 5{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}.
  • Conteúdo inicial do tanque: metade da capacidade (ou seja, 1\\ \mathrm{L} de água).
Pergunta implícita que vamos resolver: quanto tempo leva até o tanque esvaziar se essas taxas se mantêm constantes?

Passo 2

Primeiro precisamos trabalhar em unidades compatíveis. Como as taxas estão em gramas por segundo, convém converter o volume inicial para massa de água usando a densidade da água pura à temperatura ambiente.
Explicando a conversão (aula rápida):
  • A densidade da água é aproximadamente 1{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}, o que equivale a 1{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm^3}.
  • Um litro ( 1\\ \mathrm{L}) equivale a 1000\\ \mathrm{mL}.
    Portanto a massa de 1\\ \mathrm{L} de água é
1\\ \mathrm{L} = 1000\\ \mathrm{mL} \quad\Rightarrow\quad \text{massa} = 1000\\ \mathrm{mL}\times 1{,}0\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mL}} = 1000\\ \mathrm{g}.
Também é útil notar a massa total do tanque cheio: 2\\ \mathrm{L}=2000\\ \mathrm{g}, mas para nosso problema usamos a massa inicial M(0)=1000\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Definimos a variável que vamos estudar: seja M(t) a massa de água no tanque (em gramas) no instante t medido em segundos. A variação temporal da massa é dada pela diferença entre taxa de entrada e taxa de saída.
Explicando o conceito de balanço (aula rápida):
  • Taxa de variação de uma quantidade = entrada − saída.
    Aqui as taxas são constantes, então escrevemos a equação diferencial simples:
\frac{dM}{dt}=r_{\text{in}}-r_{\text{out}}.
Substituindo os valores fornecidos (peguei as taxas do enunciado):
\frac{dM}{dt}=3{,}0\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}} - 5{,}0\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}} = -2{,}0\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}}.
Significado: a massa no tanque diminui a uma taxa constante de 2{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial. Como a velocidade de variação é constante, dM/dt é uma constante e a solução é uma função afim (reta):
Explicando a integração (aula rápida):
  • Se \dfrac{dM}{dt}=k com k constante então M(t)=M(0)+k\,t.
Aplicando ao nosso caso (com M(0)=1000\\ \mathrm{g} e k=-2{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}):
M(t)=1000\\ \mathrm{g} + (-2{,}0)\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}}\cdot t = 1000 - 2{,}0\,t\quad(\text{com }t\text{ em s}).

Passo 5

Determinar o tempo t em que o tanque fica vazio: isso ocorre quando M(t)=0. Então resolvemos:
0 = 1000 - 2{,}0\,t.
Isolando t:
2{,}0\,t = 1000 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1000}{2{,}0} = 500\\ (\mathrm{s}).
Checagem e observações (dica de prova):
  • Após t=500\\ \mathrm{s} o modelo linear deixa de fazer sentido (não se permite massa negativa): o tanque está vazio e o processo físico muda (por exemplo, não se pode retirar mais água). Sempre verifique essa restrição ao aplicar modelos lineares.
  • Converter para minutos pode ser útil em provas: 500\\ \mathrm{s} = \dfrac{500}{60}\\ \text{min} = 8{,}333\ldots\\ \text{min} = 8\\ \text{min}\\\ 20\\ \mathrm{s}.

Resposta

500\\ \mathrm{s} = 8\\ \text{min}\\\ 20\\ \mathrm{s}

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