- Água entra em um tanque de 2 litros a uma taxa de
e é retirada a uma taxa de
. O tanque inicialmente contém água pela metade.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (tudo extraído do enunciado):
- Capacidade do tanque:
. - Taxa de entrada de água:
. - Taxa de saída de água:
. - Conteúdo inicial do tanque: metade da capacidade (ou seja,
de água).
Pergunta implícita que vamos resolver: quanto tempo leva até o tanque esvaziar se essas taxas se mantêm constantes?
Passo 2
Primeiro precisamos trabalhar em unidades compatíveis. Como as taxas estão em gramas por segundo, convém converter o volume inicial para massa de água usando a densidade da água pura à temperatura ambiente.
Explicando a conversão (aula rápida):
- A densidade da água é aproximadamente
, o que equivale a . - Um litro (
) equivale a .
Portanto a massa dede água é
Também é útil notar a massa total do tanque cheio:
, mas para nosso problema usamos a massa inicial
.
Passo 3
Definimos a variável que vamos estudar: seja
a massa de água no tanque (em gramas) no instante
medido em segundos. A variação temporal da massa é dada pela diferença entre taxa de entrada e taxa de saída.
Explicando o conceito de balanço (aula rápida):
- Taxa de variação de uma quantidade = entrada − saída.
Aqui as taxas são constantes, então escrevemos a equação diferencial simples:
Substituindo os valores fornecidos (peguei as taxas do enunciado):
Significado: a massa no tanque diminui a uma taxa constante de
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial. Como a velocidade de variação é constante,
é uma constante e a solução é uma função afim (reta):
Explicando a integração (aula rápida):
- Se
com constante então .
Aplicando ao nosso caso (com
e
):
Passo 5
Determinar o tempo
em que o tanque fica vazio: isso ocorre quando
. Então resolvemos:
Isolando
:
Checagem e observações (dica de prova):
- Após
o modelo linear deixa de fazer sentido (não se permite massa negativa): o tanque está vazio e o processo físico muda (por exemplo, não se pode retirar mais água). Sempre verifique essa restrição ao aplicar modelos lineares. - Converter para minutos pode ser útil em provas:
.