Água entra em um tubo a 270 C com uma vazão de
. A transferência de calor da parede do tubo para o fluido é dada pela expressão
, sendo o coeficiente igual a
e
a distância axial para a entrada do tubo.
a) Partindo de um volume de controle diferencial propriamente definido, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura
na água.
a) Partindo de um volume de controle diferencial propriamente definido, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água entrando em um tubo a
com uma vazão de
. A transferência de calor da parede do tubo para a água é dada por
, onde
e
é a distância ao longo do tubo. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura da água,
, varia ao longo dessa distância
.
Para resolver isso, vamos usar os princípios da Transferência de Calor e Energia em Sistemas Fluídicos. Precisaremos aplicar a equação de balanço de energia para um volume de controle diferencial no tubo.
Passo 2
Vamos considerar um pequeno segmento do tubo com comprimento diferencial
. Nesse segmento, a água entra com certa quantidade de calor e sai com outra. A diferença entre esses dois representa o calor transferido para a água.
A vazão mássica
é de
. Primeiro, convertemos isso para
:
Passo 3
A transferência de calor por unidade de comprimento é
, então para um segmento
, o calor transferido é:
Passo 4
Aplicando o balanço de energia no segmento diferencial, temos que o aumento de energia interna da água é igual ao calor adicionado:
Aqui,
é a capacidade calorífica da água. Vamos assumir
.
Passo 5
Substituindo
na equação de balanço:
Os
se cancelam:
Passo 6
Rearranjando para separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a condição de contorno. Sabemos que na entrada do tubo (
), a temperatura da água é
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A distribuição de temperatura na água ao longo da distância
é dada por: