Água entra em um tubo a 270 C com uma vazão de 450 kg / h. A transferência de calor da parede do tubo para o fluido é dada pela expressão qs^prime(W / m)=a x, sendo o coeficiente igual a 20 W / m^2 e x(m) a distância axial para a entrada do tubo.
a) Partindo de um volume de controle diferencial propriamente definido, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura Tm(x) na água.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água entrando em um tubo a com uma vazão de . A transferência de calor da parede do tubo para a água é dada por , onde e é a distância ao longo do tubo. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura da água, , varia ao longo dessa distância .
Para resolver isso, vamos usar os princípios da Transferência de Calor e Energia em Sistemas Fluídicos. Precisaremos aplicar a equação de balanço de energia para um volume de controle diferencial no tubo.

Passo 2

Vamos considerar um pequeno segmento do tubo com comprimento diferencial dotm = 450,kg3600,s = 0,125,kg/s . Nesse segmento, a água entra com certa quantidade de calor e sai com outra. A diferença entre esses dois representa o calor transferido para a água.
A vazão mássica é de . Primeiro, convertemos isso para :

Passo 3

A transferência de calor por unidade de comprimento é dq = a cdot x cdot dx , então para um segmento , o calor transferido é:

Passo 4

Aplicando o balanço de energia no segmento diferencial, temos que o aumento de energia interna da água é igual ao calor adicionado:
dq = dotm cdot cp cdot dT
Aqui, é a capacidade calorífica da água. Vamos assumir .

Passo 5

Substituindo a cdot x cdot dx = dotm cdot cp cdot dTdx cdot dx na equação de balanço:
a cdot x = dotm cdot cp cdot dTdx
Os se cancelam:

Passo 6

Rearranjando para separar as variáveis dTdx = a cdot xdotm cdot cp e :

Passo 7

Integrando ambos os lados para encontrar integral dT = integral adotm cdot cp cdot x , dx :
T(x) = adotm cdot cp cdot x^22 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a condição de contorno. Sabemos que na entrada do tubo ( T(0) = 270 = adotm cdot cp cdot 0^22 + C Rightarrow C = 270 ), a temperatura da água é :

Passo 9

Substituindo T(x) = adotm cdot cp cdot x^22 + 270 na expressão de :

Resposta

A distribuição de temperatura na água ao longo da distância Tm(x) = a2,dotm,cp cdot x^2 + 270,^circC é dada por:

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