Calcule
. de onde
é a curva dada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva
definida por
para
entre 0 e 1. Para isso, precisamos usar o conceito de integral de linha de um campo vetorial, que envolve substituir a curva na função e integrar o produto escalar com a derivada da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
. Isso significa derivar cada componente de
em relação a
:
Essa derivada representa a velocidade da curva em cada ponto
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a curva
no campo vetorial
para obter
:
Note que
porque o cosseno é uma função par.
Passo 4
Com
e
encontrados, vamos calcular o produto escalar entre eles:
Esse é o integrando que vamos usar na próxima etapa.
Passo 5
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos resolver cada termo separadamente:
-
Para
, fazemos a substituição , então . Assim, a integral se torna . -
Para
, fazemos , então . A integral fica . -
Para
, a integral é .
Então, a integral completa de 0 a 1 é:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Resposta
A integral solicitada é
.