Calcule
onde
t́ a curva braquistóerona, dada por
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a curva braquistórona invertida. A curva braquistórona aqui é dada por
para
e a função é
.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais de linha envolvendo gradientes. Vamos precisar entender o que é o gradiente, como parametrizar a curva e como calcular a integral usando esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
. Matemáticamente, é dado por:
Vamos calcular isso para a nossa função
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente
é:
Passo 4
Agora, vamos entender a curva
. A curva original
é parametrizada por
para
. A curva
é simplesmente
percorrida no sentido inverso. Para facilitar, podemos considerar que
varia de
a
.
Passo 5
Para calcular a integral
, usamos a propriedade de que a integral de um gradiente ao longo de uma curva depende apenas dos pontos finais. Especificamente:
Mas como estamos integrando ao longo de
, a ordem dos pontos finais se inverte:
Passo 6
Vamos identificar os pontos inicial e final de
. Para
:
Para
:
Então, a curva
vai de
a
, e
vai de
a
.
Passo 7
Aplicando a propriedade da integral de gradiente:
Vamos calcular
e
.
Passo 8
Calculando
:
Calculando
:
Passo 9
Substituindo esses valores na integral:
Resposta
A integral
vale
.