A água escoa a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10-{ }^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) por um estacionamento de 80 m de largura e a uma profundidade constante de 5 mm . A inclinação do estacionamento é de 0,0002 . Calcule a vazão e a tensão de cisalhamento máxima para um escoamento laminar.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento de água sobre um piso inclinado (estacionamento) com as seguintes informações:
largura do estacionamento: b=80\\ \mathrm{m}.
profundidade constante do filme de água: h=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
inclinação (declividade) do estacionamento: S=0,0002.
viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C}: \mu=10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2}.
temperatura indicada 20^\circ\mathrm{C} (vou usar a massa volúmica da água a 20^\circ\mathrm{C} como \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3}, valor padrão).
O que o problema pede:
calcular a vazão volumétrica total Q (vazão da faixa de largura b) para escoamento laminar;
calcular a tensão de cisalhamento máxima (isto é, a tensão no fundo, parede, ou parede do piso).
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (por que usamos certo modelo).
Temos um filme fino de altura h escorrendo por um plano inclinado com ângulo pequeno. Para filme laminar e escoamento plenamente desenvolvido, a equação de momento na direção do escoamento reduz-se (equilíbrio entre força de gravidade paralela e gradiente de tensão viscosa) a
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}}=\rho g\sin\theta,
onde:
u(y) é a velocidade na direção do escoamento em função da coordenada normal y (com y=0 no piso e y=h na superfície livre),
\mu é a viscosidade dinâmica,
\rho é a massa volúmica,
g é a aceleração da gravidade (g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}),
\theta é o ângulo do plano inclinado, e \sin\theta pode ser aproximado por S=\tan\theta quando o ângulo é pequeno; aqui usaremos \sin\theta\approx S=0,0002.
Condições de contorno:
aderência no piso: u(0)=0;
na superfície livre não há cisalhamento: \tau(y=h)=\mu \left.\frac{du}{dy}\right|_{y=h}=0, portanto \left.\frac{du}{dy}\right|_{y=h}=0.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para obter o perfil de velocidade.
Integrando uma vez:
Esse valor é bem abaixo de valores típicos de transição para filmes finos (normalmente ordens de centenas), então a hipótese de escoamento laminar é consistente.