Água escoa através de um bocal de bom acabamento, na extremidade de um tubo de 50 mm de diâmetro. O diâmetro de saída do bocal é 25 mm . A vazāo em volume de água é de 53 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, e a pressão imediatamente a montante do bocal é 522 kPa (absoluta). Determine a força trafismitida pelo acoplamento entre o bocal e o tubo. Indique se o acoplamento está sob tração ou compressão.

Passo 1

O enunciado diz que a água escoa de um tubo de diâmetro \,D_1=50\text{ mm} para um bocal de diâmetro \,D_2=25\text{ mm}, com vazão volumétrica \,Q=53\text{ m}^3/\text{h} e pressão imediatamente montante do bocal \,p_1=522\text{ kPa} (absoluta). Queremos a força transmitida pelo acoplamento entre o tubo e o bocal. O conteúdo principal é a conservação de quantidade de movimento (equação de impulso) em regime permanente, aplicando as forças de pressão e o termo de momento de saída menos entrada.

Passo 2

Converter a vazão para unidades do SI:
Q = \frac{53}{3600}\,\text{m}^3/\text{s} \approx 0{,}01472\,\text{m}^3/\text{s}.

Passo 3

Calcular as áreas das seções e as velocidades médias:
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} \approx 1{,}9635\times10^{-3}\,\text{m}^2,
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}025)^2}{4} \approx 4{,}909\times10^{-4}\,\text{m}^2.
v_1 = \frac{Q}{A_1}\approx \frac{0{,}01472}{1{,}9635\times10^{-3}}\approx 7{,}50\,\text{m/s}, \quad v_2 = \frac{Q}{A_2}\approx \frac{0{,}01472}{4{,}909\times10^{-4}}\approx 30{,}0\,\text{m/s}.

Passo 4

Calcular a vazão mássica, assumindo \rho_{\mathrm{água}}=1000á, \mathrm{kg/m}^3:
\dot m = \rho\,Q = 1000 \times 0{,}01472 \approx 14{,}72\,\text{kg/s}.

Passo 5

Aplicar a equação de quantidade de movimento na direção do escoamento (eixo x):
As forças externas no volume de controle são:
– força de pressão em x positiva no inlet: +p_1 A_1,
– força de pressão no outlet (atmosfera p_2\approx101{,}3 kPa) atuando para trás: -p_2 A_2,
– força de contato do acoplamento sobre o fluido, F_c.
A equação é
F_c + p_1 A_1 - p_2 A_2 = \dot m\,(v_2 - v_1).
Dessa forma,
F_c = \dot m\,(v_2 - v_1) \;-\; p_1 A_1 \;+\; p_2 A_2.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos:
\dot m (v_2 - v_1) = 14{,}72 \times (30{,}0 - 7{,}50) = 14{,}72 \times 22{,}5 \approx 331{,}2\,\text{N},
p_1 A_1 = 522\,000 \times 1{,}9635\times10^{-3} \approx 1\,025{,}1\,\text{N},
p_2 A_2 = 101\,300 \times 4{,}909\times10^{-4} \approx 49{,}7\,\text{N}.
Logo
F_c = 331{,}2 - 1\,025{,}1 + 49{,}7 \approx -644{,}2\,\text{N}.

Passo 7

O sinal negativo indica que a força F_c sobre o fluido está no sentido contrário ao eixo positivo. Portanto, a força que o fluido exerce no acoplamento (e é transmitida ao tubo) tem módulo 644{,}2,N no sentido do escoamento, comprimindo o acoplamento.

Resposta

A força transmitida pelo acoplamento é de 644{,}2,N, sob compressão.

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