Uma central hidrelétrica recebe 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água através da turbina e a descarrega para a atmosfera com V_{2}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A perda de carga na turbina e no sistema de comportas e duto forçado é h_{p}=20 \mathrm{~m}. Estime a potência em MW extraída pela turbina.

Passo 1

O enunciado dá uma vazão de água Q = 30\\ \mathrm{m^3/s} que parte de um reservatório com cota z_1 = 100\\ \mathrm{m} (e velocidade praticamente nula na superfície) e chega à saída da turbina na cota z_2 = 0\\ \mathrm{m} com velocidade V_2 = 2\\ \mathrm{m/s}. Há uma perda de carga total no sistema (turbina, comportas e duto forçado) de h_p = 20\\ \mathrm{m}. Queremos a potência hidráulica extraída pela turbina. Vamos usar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (1) e a saída da turbina (2), incluindo a perda de carga, e depois multiplicar pela vazão para achar a potência.

Passo 2

Escrevendo Bernoulli entre (1) e (2) com energia extraída pela turbina P e perda de carga h_p:
\frac{P}{\rho\,Q} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + h_p \;=\; z_1 + \frac{V_1^2}{2g}
onde \rho é a densidade da água, g a gravidade, e V_1\approx 0 na superfície do reservatório. Isolamos a potência por unidade de vazão:
\frac{P}{\rho\,Q} \;=\; (z_1 - z_2) \;-\; h_p \;-\;\frac{V_2^2 - V_1^2}{2g}

Passo 3

Como V_1\approx0, fica
\frac{V_2^2 - V_1^2}{2g} \;=\;\frac{(2\\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}} \;=\; \frac{4}{19{,}62}\\ \mathrm{m} \;\approx\;0{,}204\\ \mathrm{m}.
Logo, a carga líquida disponível na turbina (carga útil) é
H_{\text{líq}} = (100 - 0) - 20 - 0{,}204 = 79{,}796\\ \mathrm{m}.í

Passo 4

A potência hidráulica é
P \;=\;\rho\,g\,Q\,H_{\text{líq}}í
P = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\times 30\\ \mathrm{m^3/s}\times 79{,}796\\ \mathrm{m}.
Calculando:
1000\times9{,}81\times30=294300\quad\longrightarrow\quad 294300\times79{,}796\approx2{,}3484\times10^{7}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência aproximada extraída pela turbina é
P \approx 2{,}35\times10^{7}\\ \mathrm{W} = 23{,}5\\ \mathrm{MW}.

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