A distribuição de velocidades para escoamento laminar num tubo longo, circular. é dada pela expressão unidimensional V=u i=u_{\text {max }}\left[1-(r / R)^{2}\right] i.
Para este perfil, utilizar o vetor de área d A=d A i=2 \pi r d r i para avaliar os seguintes valores para a seção transversal do tubo.
(a) \int V \cdot d A
(b) \int \mathrm{V}(\mathrm{V} \cdot \mathrm{dA})

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade laminar unidimensional em um tubo circular de raio R:
V = u\,i = u_{\max}\bigl[1 - (r/R)^2\bigr]\,i
e o vetor de área da seção transversal
dA = dA\,i = 2\pi r\,dr\,i.
Precisamos avaliar sobre toda a seção S:
(a) \displaystyle \int_{S}V\cdot dA e
(b) \displaystyle \int_{S}V\,(V\cdot dA).
Usaremos coordenadas cilíndricas e reduziremos tudo a integrais em r\in[0,R].

Passo 2

Para (a) note que V e dA são paralelos a i, então
\int_{S}V\cdot dA = \int_{0}^{R}u_{\max}\bigl[1-(r/R)^2\bigr]\;2\pi r\;dr.
Fatorando constantes:
\int_{S}V\cdot dA = u_{\max}\,2\pi\int_{0}^{R}\Bigl(r - \frac{r^3}{R^2}\Bigr)dr.

Passo 3

Calculamos as duas integrais básicas:
\int_{0}^{R}r\,dr = \frac{R^2}{2}, \quad \int_{0}^{R}r^3\,dr = \frac{R^4}{4}.
Substituindo:
\int_{S}V\cdot dA = u_{\max}\,2\pi\Bigl(\frac{R^2}{2} - \frac{R^4}{4R^2}\Bigr) = u_{\max}\,2\pi\Bigl(\frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{4}\Bigr) = u_{\max}\,\frac{\pi R^2}{2}.

Passo 4

Para (b) temos
\int_{S}V\,(V\cdot dA) = \int_{S}V^2\,dA = \int_{0}^{R}u_{\max}^2\bigl[1-(r/R)^2\bigr]^2\,2\pi r\,dr.
Fatorando u_{\max}^2 2\pi e expandindo o quadrado:
\int_{S}V^2\,dA = u_{\max}^2\,2\pi\int_{0}^{R}\Bigl(r - 2\frac{r^3}{R^2} + \frac{r^5}{R^4}\Bigr)dr.

Passo 5

Precisamos de
\int_{0}^{R}r\,dr = \frac{R^2}{2}, \quad \int_{0}^{R}r^3\,dr = \frac{R^4}{4}, \quad \int_{0}^{R}r^5\,dr = \frac{R^6}{6}.
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\int_{S}V^2\,dA = u_{\max}^2\,2\pi\Bigl(\frac{R^2}{2} -2\frac{R^4}{4R^2} +\frac{R^6}{6R^4}\Bigr) = u_{\max}^2\,2\pi\Bigl(\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{2}+\frac{R^2}{6}\Bigr) = u_{\max}^2\,\frac{\pi R^2}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{S}V\cdot dA = u_{\max}\,\frac{\pi R^2}{2}.
(b) \displaystyle \int_{S}V\,(V\cdot dA) = u_{\max}^2\,\frac{\pi R^2}{3}.

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