Um elevador hidráulico instalado em uma colhedora deve conduzir um fardo de algodão até o reservatório provisório instalado na máquina. 0 diâmetro do elevador é de 0,5 \mathrm{~m} e para cumprir o seu papel, ele deve elevar em 0,5 \mathrm{~m} o fardo de algodão, com massa aproximada de 200 kg . A estratégia usada pela equipe de engenharia para realizar tal ação foi o uso do principio de pascal. Com isso eles instalaram um embolo com diâmetro de 0,2 \mathrm{~m} que comunica com o elevador, acionado por óleo mineral (incompressível na pressão usada). Para continuar o projeto, os engenheiros precisam saber: a) A força a ser aplicada no embolo; b) 0 Comprimento do deslocamento do embolo. Considere \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Marque a resposta correta:
784 \mathrm{Ne} 0,49 \mathrm{~m}
200 \mathrm{kgf} \mathrm{e} 0,2 \mathrm{~m}
313 \mathrm{Ne} 0,5 \mathrm{~m}
1960 \mathrm{Ne} 0,5 \mathrm{~m}
313 \mathrm{Ne} 3,12 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado descreve um elevador hidráulico que usa o Princípio de Pascal para elevar um fardo de massa m=200\:\mathrm{kg} a uma altura \Delta h_2=0,5\:\mathrm{m} no cilindro grande de diâmetro D_2=0,5\:\mathrm{m}. O cilindro pequeno, de diâmetro D_1=0,2\:\mathrm{m}, recebe a força F_1 que queremos achar, assim como o deslocamento \Delta h_1 desse êmbolo. Vamos usar:
  1. Igualdade de pressão:
P = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2},
  1. Conservação de trabalho (óleo incompressível):
F_1\,\Delta h_1 = F_2\,\Delta h_2.

Passo 2

Calcular as áreas e a força no pequeno êmbolo.
A área de um círculo de diâmetro D é
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Logo,
A_1 = \frac{\pi (0,2)^2}{4} = 0,01\pi,\quad A_2 = \frac{\pi (0,5)^2}{4} = 0,0625\pi.
O peso do fardo é
F_2 = m\,g = 200 \times 9,8 = 1960\:\mathrm{N}.
Pela igualdade de pressão,
F_1 = F_2 \,\frac{A_1}{A_2} = 1960 \times \frac{0,01\pi}{0,0625\pi} = 1960 \times 0,16 \approx 313{,}6\:\mathrm{N}.

Passo 3

Determinar o deslocamento \Delta h_1 do êmbolo pequeno via conservação de trabalho:
F_1\,\Delta h_1 = F_2\,\Delta h_2 \quad\Longrightarrow\quad \Delta h_1 = \frac{F_2}{F_1}\,\Delta h_2 = \frac{1960}{313{,}6}\times 0,5 \approx 3{,}125\:\mathrm{m}.

Resposta

313 N e 3,12 m

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