Exemplo 4.9 ESCOAMENTO EM BOCAL: APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A água escoa, em regime permanente, através de um bocal horizontal que a descarrega para a atmosfera. Na entrada, o diâmetro do bocal é
e, na saída,
. Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica dada,
. Avalie a pressão manométrica para
e
, quando a vazão volumétrica desejada for
.
A água escoa, em regime permanente, através de um bocal horizontal que a descarrega para a atmosfera. Na entrada, o diâmetro do bocal é
Passo 1
O enunciado dá: diâmetros do bocal na entrada e na saída e a vazão desejada, e pede a pressão manométrica mínima na entrada para obter essa vazão. Dados fornecidos:
O que é pedido:
- Deduzir uma expressão para a pressão manométrica mínima na entrada, em função de
, , (e constantes físicas). - Avaliar numericamente essa pressão para os valores dados.
Passo 2
Primeiro conceito necessário: conservação de massa (equação da continuidade) para fluxo incompressível em regime permanente. Ela diz que a vazão volumétrica
é igual à área da seção transversal
multiplicada pela velocidade média
nessa seção:
A área de uma seção circular de diâmetro
é
Portanto a velocidade média em cada seção pode ser escrita em função de
e
:
Vamos calcular explicitamente
e
com os números dados. Usando
e
:
Comentário prático: como
, a velocidade na saída
é bem maior que na entrada
— isso vai exigir pressão para acelerar o fluido.
Passo 3
Segundo conceito necessário: equação de Bernoulli para fluxo incompressível, sem perdas, entre dois pontos ao longo da mesma linha de corrente em regime permanente:
Aqui
é pressão absoluta,
é a densidade do fluido e
é a cota (altura). No problema o bocal é horizontal, então
e os termos de gravidade se cancelam. A saída descarrega para a atmosfera, logo
. A pressão manométrica na entrada é a diferença entre a pressão no ponto 1 e a pressão atmosférica:
Subtraindo
e cancelando alturas obtemos:
Isto é, a pressão de entrada acima da atmosfera precisa fornecer a energia cinética extra para acelerar o fluido de
para
.
Passo 4
Agora substituímos as expressões de
e
em termos de
e
. Como
temos
Essa é a expressão pedida: pressão manométrica mínima na entrada em função de
,
,
e
.
Passo 5
Avaliação numérica. Para água tomamos
. Usando a forma prática com velocidades (já calculadas em
Passo 6
Substituindo
,
e
:
Então
Em unidades mais usuais isso é aproximadamente
. (Interpretação: é uma pressão relativamente alta porque a saída é muito estreita, exigindo uma velocidade grande e, portanto, grande energia cinética.)