Exemplo 4.9 ESCOAMENTO EM BOCAL: APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A água escoa, em regime permanente, através de um bocal horizontal que a descarrega para a atmosfera. Na entrada, o diâmetro do bocal é D_{1} e, na saída, D_{2}. Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica dada, Q. Avalie a pressão manométrica para D_{1}=75 \mathrm{~mm} e D_{2}=25 \mathrm{~mm}, quando a vazão volumétrica desejada for 0,02 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá: diâmetros do bocal na entrada e na saída e a vazão desejada, e pede a pressão manométrica mínima na entrada para obter essa vazão. Dados fornecidos:
D_1=0,075\\ \mathrm{m},\qquad D_2=0,025\\ \mathrm{m},\qquad Q=0,02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
O que é pedido:
  • Deduzir uma expressão para a pressão manométrica mínima na entrada, em função de Q, D_1, D_2 (e constantes físicas).
  • Avaliar numericamente essa pressão para os valores dados.

Passo 2

Primeiro conceito necessário: conservação de massa (equação da continuidade) para fluxo incompressível em regime permanente. Ela diz que a vazão volumétrica Q é igual à área da seção transversal A multiplicada pela velocidade média v nessa seção:
Q = A\,v.
A área de uma seção circular de diâmetro D é
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Portanto a velocidade média em cada seção pode ser escrita em função de Q e D:
v_i=\frac{Q}{A_i}=\frac{4Q}{\pi D_i^2},\qquad i=1,2.
Vamos calcular explicitamente v_1 e v_2 com os números dados. Usando \,D_1=0,075\\ \mathrm{m} e \,D_2=0,025\\ \mathrm{m}:
v_1=\frac{4Q}{\pi D_1^2}=\frac{4\cdot 0,02}{\pi\cdot(0,075)^2}\approx 4,53\\ \mathrm{m/s},
v_2=\frac{4Q}{\pi D_2^2}=\frac{4\cdot 0,02}{\pi\cdot(0,025)^2}\approx 40,74\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: como D_2<D_1, a velocidade na saída v_2 é bem maior que na entrada v_1 — isso vai exigir pressão para acelerar o fluido.

Passo 3

Segundo conceito necessário: equação de Bernoulli para fluxo incompressível, sem perdas, entre dois pontos ao longo da mesma linha de corrente em regime permanente:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g z_2.
Aqui \,p é pressão absoluta, \rho é a densidade do fluido e z é a cota (altura). No problema o bocal é horizontal, então z_1=z_2 e os termos de gravidade se cancelam. A saída descarrega para a atmosfera, logo p_2=p_{\mathrm{atm}}. A pressão manométrica na entrada é a diferença entre a pressão no ponto 1 e a pressão atmosférica:
p_{\mathrm{man}} \equiv p_1-p_{\mathrm{atm}}.
Subtraindo p_{\mathrm{atm}} e cancelando alturas obtemos:
p_{\mathrm{man}} = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right).
Isto é, a pressão de entrada acima da atmosfera precisa fornecer a energia cinética extra para acelerar o fluido de v_1 para v_2.

Passo 4

Agora substituímos as expressões de v_1 e v_2 em termos de Q e D. Como
v_i=\frac{4Q}{\pi D_i^2}\quad\Rightarrow\quad v_i^2=\frac{16Q^2}{\pi^2 D_i^4},
temos
p_{\mathrm{man}}=\tfrac{1}{2}\rho\left(\frac{16Q^2}{\pi^2 D_2^4}-\frac{16Q^2}{\pi^2 D_1^4}\right) =\frac{8\rho Q^2}{\pi^2}\left(\frac{1}{D_2^4}-\frac{1}{D_1^4}\right).
Essa é a expressão pedida: pressão manométrica mínima na entrada em função de Q, D_1, D_2 e \rho.

Passo 5

Avaliação numérica. Para água tomamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Usando a forma prática com velocidades (já calculadas em

Passo 6

p_{\mathrm{man}}=\tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right).
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, v_1\approx 4,53\\ \mathrm{m/s} e v_2\approx 40,74\\ \mathrm{m/s}:
v_1^2\approx (4,53)^2\approx 20,5\\ \mathrm{m^2/s^2}, \qquad v_2^2\approx (40,74)^2\approx 1660,0\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Então
p_{\mathrm{man}}=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(1660,0-20,5)\\ \mathrm{Pa} \approx 8,20\times 10^5\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais isso é aproximadamente 820\\ \mathrm{kPa}. (Interpretação: é uma pressão relativamente alta porque a saída é muito estreita, exigindo uma velocidade grande e, portanto, grande energia cinética.)

Resposta

p_{\mathrm{man}}\approx 8,20\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 820\\ \mathrm{kPa}).

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