Água escoa em regime permanente em uma tubulação de aço galvanizado, \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}, com diâmetro de 100 mm , de modo que o número de Reynolds é 1,5 \times 10^{5}. Determine a força de atrito na parede da tubulação, por unidade de comprimento.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento turbulento permanente de água em tubo de diâmetro D=100\;\mathrm{mm} e rugosidade absoluta \varepsilon=0,15\;\mathrm{mm}, com número de Reynolds \mathrm{Re}=1{,}5\times10^{5}. Queremos a força de atrito na parede por unidade de comprimento, para isso usaremos a fórmula de Darcy–Weisbach associada à equação de Colebrook (ou sua forma explícita de Haaland) para obter o fator de atrito f, depois calcularemos a tensão de cisalhamento na parede \tau_w e, finalmente, a força F por metro de tubo.

Passo 2

Primeiro obtemos a velocidade média V a partir de
\mathrm{Re}=\frac{V\,D}{\nu}
Assumindo água a 20^\circ\mathrm{C} com \nu=1\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s} e D=0{,}1\;\mathrm{m}, tem-se
V=\frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D} =\frac{1{,}5\times10^{5}\times1\times10^{-6}}{0{,}1} =1{,}5\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Calculamos o fator de atrito f usando a forma de Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f}} =-1{,}8\, \log_{10}\!\Biggl[ \Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\Bigr)^{1{,}11} +\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}} \Biggr].
Temos
\frac{\varepsilon}{D}= \frac{0,15}{100}=0,0015, \quad \Bigl(\frac{0,0015}{3{,}7}\Bigr)^{1{,}11}\approx1{,}72\times10^{-4}, \quad \frac{6{,}9}{1{,}5\times10^{5}}\approx4{,}6\times10^{-5},
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\frac{1}{\sqrt{f}} =-1{,}8\log_{10}(1{,}72\times10^{-4}+4{,}6\times10^{-5}) \approx6{,}59 \;\Longrightarrow\; \sqrt{f}\approx0{,}1516 \;\Longrightarrow\; f\approx0{,}0230.

Passo 4

A tensão de cisalhamento na parede vale
\tau_{w} =\frac{f\,\rho\,V^{2}}{8},
com \rho=1000\;\mathrm{kg/m^{3}} e V=1{,}5\;\mathrm{m/s},
\tau_{w} = \frac{0{,}0230\times1000\times(1{,}5)^{2}}{8} \approx6{,}47\;\mathrm{Pa}.

Passo 5

A força de atrito por unidade de comprimento L vem de
\frac{F}{L}=\tau_{w}\times\text{perímetro} =\tau_{w}\times\pi D =6{,}47\times\pi\times0{,}1 \approx2{,}03\;\mathrm{N/m}.í

Resposta

A força de atrito na parede por unidade de comprimento é aproximadamente
\frac{F}{L}\approx2{,}03\;\mathrm{N/m}.

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