Uma tubulação transporta água entre dois grandes reservatórios mantidos em níveis constantes. A tubulação de 750 m de comprimento e
de diâmetro possui, nos últimos 300 m , um trecho em paralelo de mesmo comprimento e mesmo diâmetro. Uma válvula é instalada em um dos tramos de 300 m de comprimento. Se a vazão total transportada pelo sistema é reduzida em
pelo fechamento parcial da válvula, determine a perda de carga localizada da válvula em termos da velocidade média neste trecho. Adote um fator de atrito constante de
.
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento de água entre dois reservatórios de nível constante através de uma tubulação de diâmetro
. Os primeiros
são um único trecho, e os últimos
se bifurcam em dois ramos paralelos idênticos, cada um de diâmetro
e comprimento
. Uma válvula está instalada em um dos ramos de
. Ao fechar parcialmente a válvula, a vazão total
cai
. Queremos a perda de carga localizada
da válvula em função da velocidade média
nesse ramo. Usaremos a equação de Darcy–Weisbach para as perdas por atrito e conservação de vazão nos paralelos.
Passo 2
Antes do fechamento parcial, a vazão total
chega ao ponto de bifurcação e se divide igualmente: em cada ramo
. Definindo
como a velocidade média em cada ramo e
no trecho único de , a perda de carga total entre reservatórios é
como a velocidade média em cada ramo e
no trecho único de
Substituindo
e agrupando, obtém-se
Passo 3
Após o fechamento parcial, a vazão total cai para
.
No trecho único de a velocidade média passa a ser
No trecho único de
Nos dois ramos paralelos chamamos de
a velocidade no ramo com válvula e de
no ramo sem válvula. Pela conservação de massa no ponto de bifurcação:
Passo 4
A cabeça disponível
não muda e também vale, agora, pela via sem válvula:
Igualando esta expressão a
e usando
dá
Então
Passo 5
A perda localizada da válvula é a diferença entre a cabeça no ramo com válvula e a só de atrito nesse ramo:
Mostra-se que
Como
, tem-se
Resposta
onde
é a velocidade média no ramo da válvula.