Na existência de distribuição de vazão em marcha em um deterninado conduto, a perda de carga pode ser calculada com base em uma vazão ficticia, Q_{f}. Prove que essa vazão Q_{f} pode ser escrita como Q_{f}=\left(Q m+Q_{j}\right) / 2, onde Q m é a vazão a montante do trecho em distribuição em marcha e Q_{j} é a vazão a jusante da distribuição em marcha.
(Dica: leia o sub-capítulo 4.4. do livro Hidráulica Básica, 4{ }^{a} Edição, de Rodrigo de Melo Porto)

Passo 1

O enunciado trata de um trecho de conduto em que há consumo (ou ingresso) de vazão ao longo do percurso, de modo que a vazão varia de \,Q_{m} na montante a \,Q_{j} na jusante. Queremos calcular a perda de carga desse trecho como se fosse um escoamento uniforme de “vazão fictícia” \,Q_{f}, e mostrar que
Q_{f} \;=\;\frac{Q_{m}+Q_{j}}{2}\,.
O conteúdo principal é o conceito de valor médio de uma função (aqui a vazão Q(x)) ao longo de um intervalo.

Passo 2

Modelamos a vazão ao longo do trecho de comprimento L por uma função linear em x:
Q(x)\;=\;Q_{m}\;-\;q\,x,
onde q é a taxa de variação de vazão por unidade de comprimento. Como em x=0 temos Q(0)=Q_{m} e em x=L temos Q(L)=Q_{j}, segue
q \;=\;\frac{Q_{m}-Q_{j}}{L}\,.

Passo 3

Definimos a vazão fictícia \,Q_{f} como o valor médio de Q(x) ao longo de 0\le x\le L, ou seja
Q_{f} \;=\;\frac{1}{L}\,\int_{0}^{L} Q(x)\,\mathrm{d}x\,.

Passo 4

Substituindo Q(x)=Q_{m}-\tfrac{Q_{m}-Q_{j}}{L}\,x na integral, temos
\int_{0}^{L} Q(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{L}\Bigl(Q_{m}-\frac{Q_{m}-Q_{j}}{L}x\Bigr)\mathrm{d}x =Q_{m}L-\frac{Q_{m}-Q_{j}}{L}\,\frac{L^{2}}{2} =Q_{m}L-\frac{(Q_{m}-Q_{j})L}{2}\,.
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\int_{0}^{L} Q(x)\,\mathrm{d}x =\frac{2Q_{m}L-(Q_{m}-Q_{j})L}{2} =\frac{(Q_{m}+Q_{j})\,L}{2}\,.

Passo 5

Dividindo pelo comprimento L para obter o valor médio, resulta
Q_{f} =\frac{1}{L}\,\int_{0}^{L}Q(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{L}\,\frac{(Q_{m}+Q_{j})\,L}{2} =\frac{Q_{m}+Q_{j}}{2}\,.

Resposta

Q_{f}=\frac{Q_{m}+Q_{j}}{2}\,.

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