(3,0 pts.) Uma casca esférica de condutividade térmica
, com raio interno
e raio externo
, tem sua superficie interna submetida à um fluxo térmico uniforme constante
. A superfície externa é resfriada por um fluido a
que escoa adjacente à mesma, com coeficiente convectivo
. Para condições de regime permanente e transferência de calor unidirecional, determine a temperatura no raio
.
Passo 1
O enunciado trata de condução de calor unidirecional em uma casca esférica homogênea, em regime permanente. Temos condutividade térmica
;W/(
), raio interno
;m e raio externo
;m. Na superfície interna há fluxo térmico constante
;W/
e na externa ocorre convecção com coeficiente
;W/(
·K) para um fluido a
C. Queremos a temperatura em
;m. Vamos usar a lei de condução esférica e a analogia com resistências térmicas.
Passo 2
Calculamos primeiro o fluxo de calor total que atravessa a casca, sabendo que em regime permanente toda a energia entra pela superfície interna e sai pela externa.
Passo 3
Na condução esférica unidimensional, a equação diferencial
integra-se entre um raio genérico
e uma constante de integração
, resultando em
Passo 4
A constante
é obtida impondo-se a condição de convecção na face externa
:
Por outro lado,
Igualando as duas expressões de
e isolando
dá
Passo 5
Substituindo
em
obtemos a fórmula geral
Como já temos
;W, basta inserir os valores numéricos.
Passo 6
Substituindo
,
,
,
,
,
:
Calculando passo a passo:
;
;
;
;
soma interna ;
logo
soma interna
logo
Resposta
A temperatura no raio
;m é aproximadamente
.