(3,0 pts.) Uma casca esférica de condutividade térmica k=15 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), com raio interno r_{i}=0,2 \mathrm{~m} e raio externo r_{e}=0,3 \mathrm{~m}, tem sua superficie interna submetida à um fluxo térmico uniforme constante \dot{q}^{\prime \prime}=40.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A superfície externa é resfriada por um fluido a T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} que escoa adjacente à mesma, com coeficiente convectivo h=80 \mathrm{~W} /\left(m^{2} . K\right). Para condições de regime permanente e transferência de calor unidirecional, determine a temperatura no raio 0,25 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor unidirecional em uma casca esférica homogênea, em regime permanente. Temos condutividade térmica k=15;W/( m\cdot K), raio interno r_i=0,2;m e raio externo r_e=0,3;m. Na superfície interna há fluxo térmico constante \dot q''=40\,000;W/ m^{2} e na externa ocorre convecção com coeficiente h=80;W/( m^{2}·K) para um fluido a T_\infty=20\,^\circC. Queremos a temperatura em r=0,25;m. Vamos usar a lei de condução esférica e a analogia com resistências térmicas.

Passo 2

Calculamos primeiro o fluxo de calor total que atravessa a casca, sabendo que em regime permanente toda a energia entra pela superfície interna e sai pela externa.
Q \;=\;\dot q''\;A_i \quad\text{com}\quad A_i = 4\pi r_i^2
Q = 40\,000\;\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2}\times 4\pi (0,2\;\mathrm{m})^2 = 40\,000 \times 4\pi \times 0,04 = 40\,000 \times 0,16\pi = 6\,400\pi\;\mathrm{W}.

Passo 3

Na condução esférica unidimensional, a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} \;=\; -\frac{Q}{4\pi k\,r^2}
integra-se entre um raio genérico r e uma constante de integração C_1, resultando em
T(r) = C_1 + \frac{Q}{4\pi k}\,\frac{1}{r}.

Passo 4

A constante C_1 é obtida impondo-se a condição de convecção na face externa r=r_e:
Q \;=\; h\,A_e\,[\,T(r_e)-T_\infty\,] \quad\text{com}\quad A_e = 4\pi r_e^2.
Por outro lado,
T(r_e) = C_1 + \frac{Q}{4\pi k}\,\frac{1}{r_e} \quad\Longrightarrow\quad T(r_e)-T_\infty = C_1 - T_\infty + \frac{Q}{4\pi k\,r_e}.
Igualando as duas expressões de T(r_e)-T_\infty e isolando C_1
C_1 = T_\infty \;+\;\frac{Q}{4\pi}\Bigl[\frac{1}{h\,r_e^2}-\frac{1}{k\,r_e}\Bigr].

Passo 5

Substituindo C_1 em T(r) obtemos a fórmula geral
T(r) = T_\infty \;+\;\frac{Q}{4\pi}\Bigl[\frac{1}{h\,r_e^2}+\frac{1}{k}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_e}\Bigr)\Bigr].
Como já temos Q=6\,400\pi;W, basta inserir os valores numéricos.

Passo 6

Substituindo \,Q=6\,400\pi, \,h=80, \,k=15, \,r_e=0,3, \,r=0,25, \,T_\infty=20:
T(0,25) = 20 + \frac{6\,400\pi}{4\pi}\Bigl[\frac{1}{80\,(0,3)^2}+\frac{1}{15}\Bigl(\frac{1}{0,25}-\frac{1}{0,3}\Bigr)\Bigr].
Calculando passo a passo: \dfrac{6\,400\pi}{4\pi}=1\,600; \dfrac{1}{80\cdot0,09}=0,1389; \dfrac{1}{0,25}-\dfrac{1}{0,3}=0,6667; \dfrac{1}{15}\times0,6667=0,04444;
soma interna =0,1389+0,04444=0,18333;
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T(0,25)\approx 20 +1\,600\times0,18333 =20 +293,33 \approx313,3\,^\circ\text{C}.

Resposta

A temperatura no raio 0,25;m é aproximadamente 313,3\,^\circ\mathrm{C}.

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