Em um escoamento laminar em um duto de raio R, determine o valor de y / R, onde y é a distância a partir da parede, do ponto em que a velocidade é igual a velocidade média na seção. Considere que o perfil de velocidade na seção é dado por:
u(r)=u_{\text {máx }}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right] .á

Passo 1

O enunciado trata de escoamento laminar em um duto cilíndrico de raio R, com perfil de velocidade parabólico
u(r)=u_{\max}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2}\Bigr]\,.
Precisamos achar a posição, medida por y a partir da parede (logo r=R-y), em que u(r) vale a velocidade média na seção transversal, U_{\mathrm{m}}.

Passo 2

A velocidade média é definida por média aritmética sobre a área da seção, isto é
U_{\mathrm{m}}=\frac{1}{A}\int_{A}u\,\mathrm{d}A\,,
onde A=\pi R^{2} e, em coordenadas cilíndricas, \mathrm{d}A=2\pi r\,\mathrm{d}r. Logo
U_{\mathrm{m}} =\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R}u(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r =\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R}u(r)\,r\,\mathrm{d}r\,.

Passo 3

Substituindo u(r)=u_{\max}\bigl[1-(r/R)^{2}\bigr]:
U_{\mathrm{m}} =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\int_{0}^{R}\Bigl(1-\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2}\Bigr)\,r\,\mathrm{d}r =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\Bigl[\int_{0}^{R}r\,\mathrm{d}r-\frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R}r^{3}\,\mathrm{d}r\Bigr].
Calculando
\int_{0}^{R}r\,\mathrm{d}r=R^{2}/2 e \int_{0}^{R}r^{3}\,\mathrm{d}r=R^{4}/4, obtemos
U_{\mathrm{m}} =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\Bigl(\tfrac{R^{2}}{2}-\tfrac{R^{2}}{4}\Bigr) =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\cdot\frac{R^{2}}{4} =\frac{u_{\max}}{2}\,.

Passo 4

Agora impomos u(r)=U_{\mathrm{m}}, ou seja
u_{\max}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2}\Bigr]=\frac{u_{\max}}{2} \quad\Longrightarrow\quad 1-\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2}=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,.

Passo 5

Como y é a distância ao longo do raio medida a partir da parede, temos r=R-y. Logo
\frac{y}{R}=1-\frac{r}{R}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\,.

Resposta

\frac{y}{R}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\,.

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