Água escoa sob uma comporta, em um leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é
e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm . Utilize as considerações necessárias para que a equação de Bernoulli possa ser utilizada e determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em
por metro de largura. Calcule a vazão em pés cúbicos por segundo por metro de largura, também.
Passo 1
O enunciado dá uma comporta em leito horizontal e pede a velocidade a jusante (na vena contracta) e a vazão por metro de largura, tanto em
por metro quanto em
por metro. Informações fornecidas:
- Profundidade montante (antes da comporta):
. - Velocidade montante:
(desprezível). - Profundidade na vena contracta (jusante):
. - A gravidade vale
.
Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar a velocidade do escoamento a jusante da comporta (
). - Determinar a vazão por metro de largura em
(ou seja, vazão por unidade de largura ). - Converter essa vazão para
por metro de largura.
Passo 2
Condições e justificativa para usar a equação de Bernoulli:
- O escoamento é considerado estacionário e sem trocas significativas de energia por atrito entre as superfícies escolhidas (hipótese usual para aplicação de Bernoulli em comportas simples, quando se considera a região de jato logo após a comporta).
- Escolhemos dois pontos na superfície livre: ponto 1 na superfície montante (altura
) e ponto 2 na superfície livre da vena contracta (altura ). Em ambos os pontos a pressão é a pressão atmosférica, portanto os termos de pressão por unidade de peso se cancelam.
A forma da equação de Bernoulli (por unidade de peso) entre dois pontos 1 e 2 ao longo de uma mesma linha de corrente é:
onde:
-
é a pressão absoluta no ponto (Pa), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a velocidade ( ), -
é a cota vertical do ponto em relação a um datum ( ).
Passo 3
Aplicação das hipóteses ao caso:
- Como os dois pontos escolhidos são superfícies livres, tem-se
(ambas pressões atmosféricas) e esses termos se anulam na equação. - A velocidade montante é desprezível:
.
Portanto a equação simplifica para:
Isolando
:
Escolhendo o datum no fundo do canal, tem-se
e
. Logo a diferença de cota é
Passo 4
Cálculo numérico da velocidade
:
Calculemos passo a passo:
(Arredondando para três algarismos significativos:
.)
Passo 5
Cálculo da vazão por metro de largura
:
Para um canal de largura unitária (1 m), a vazão por metro de largura é a velocidade média no corte vezes a profundidade (aqui o perfil é assumido como uniforme na seção estreita da vena contracta):
Para um canal de largura unitária (1 m), a vazão por metro de largura é a velocidade média no corte vezes a profundidade (aqui o perfil é assumido como uniforme na seção estreita da vena contracta):
Substituindo:
(Usando
com três dígitos:
.)
Passo 6
Conversão de
para
:
Fator de conversão: .
Portanto
Fator de conversão:
Portanto
Passo 7
Resumo numérico (valores arredondados e amigáveis para a prova):
- Velocidade a jusante:
. - Vazão por metro de largura:
. - Vazão por metro de largura em pés cúbicos:
.
Força final: deu trabalho, mas a conta é direta quando se entende que usamos Bernoulli entre duas superfícies livres — lembra que a diferença de cota vira “energia potencial” que se transforma em velocidade. Vai com tudo na prova!