Água escoa sob uma comporta, em um leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é 0,45 \mathrm{~m} e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm . Utilize as considerações necessárias para que a equação de Bernoulli possa ser utilizada e determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} por metro de largura. Calcule a vazão em pés cúbicos por segundo por metro de largura, também.

Passo 1

O enunciado dá uma comporta em leito horizontal e pede a velocidade a jusante (na vena contracta) e a vazão por metro de largura, tanto em \mathrm{m^3/s} por metro quanto em \mathrm{ft^3/s} por metro. Informações fornecidas:
  • Profundidade montante (antes da comporta): D_1 = 0,45\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade montante: V_1 \approx 0 (desprezível).
  • Profundidade na vena contracta (jusante): D_2 = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • A gravidade vale g \approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
    Perguntas que o enunciado faz:
  1. Determinar a velocidade do escoamento a jusante da comporta ( V_2).
  2. Determinar a vazão por metro de largura em \mathrm{m^3/s} (ou seja, vazão por unidade de largura Q').
  3. Converter essa vazão para \mathrm{ft^3/s} por metro de largura.

Passo 2

Condições e justificativa para usar a equação de Bernoulli:
  • O escoamento é considerado estacionário e sem trocas significativas de energia por atrito entre as superfícies escolhidas (hipótese usual para aplicação de Bernoulli em comportas simples, quando se considera a região de jato logo após a comporta).
  • Escolhemos dois pontos na superfície livre: ponto 1 na superfície montante (altura z_1) e ponto 2 na superfície livre da vena contracta (altura z_2). Em ambos os pontos a pressão é a pressão atmosférica, portanto os termos de pressão por unidade de peso se cancelam.
    A forma da equação de Bernoulli (por unidade de peso) entre dois pontos 1 e 2 ao longo de uma mesma linha de corrente é:
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 \;=\; \frac{p_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2,
onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • V é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • z é a cota vertical do ponto em relação a um datum ( \mathrm{m}).

Passo 3

Aplicação das hipóteses ao caso:
  • Como os dois pontos escolhidos são superfícies livres, tem-se p_1 = p_2 (ambas pressões atmosféricas) e esses termos se anulam na equação.
  • A velocidade montante é desprezível: V_1 \approx 0.
    Portanto a equação simplifica para:
\frac{V_2^2}{2g} + z_2 \;=\; z_1.
Isolando V_2:
V_2 \;=\; \sqrt{2g\,(z_1 - z_2)}.
Escolhendo o datum no fundo do canal, tem-se z_1 = D_1 = 0,45\\ \mathrm{m} e z_2 = D_2 = 0,05\\ \mathrm{m}. Logo a diferença de cota é
z_1 - z_2 = 0,45 - 0,05 = 0,40\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo numérico da velocidade V_2:
V_2 \;=\; \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 0,40}.
Calculemos passo a passo:
2\cdot 9,81 \cdot 0,40 = 7,848,
V_2 = \sqrt{7,848} \approx 2,80\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando para três algarismos significativos: V_2 \approx 2,80\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

Cálculo da vazão por metro de largura Q':
Para um canal de largura unitária (1 m), a vazão por metro de largura é a velocidade média no corte vezes a profundidade (aqui o perfil é assumido como uniforme na seção estreita da vena contracta):
Q' = V_2 \times D_2.
Substituindo:
Q' = 2,801\ldots \times 0,05 \approx 0,140\\ \mathrm{m^3/s\\ per\\ m}.
(Usando V_2 com três dígitos: Q' \approx 0,140\\ \mathrm{m^3/s\\ per\\ m}.)

Passo 6

Conversão de \mathrm{m^3/s} para \mathrm{ft^3/s}:
Fator de conversão: 1\\ \mathrm{m^3} = 35,3146667\\ \mathrm{ft^3}.
Portanto
Q'_{\text{(ft^3/s per m)}} = 0,140\\ \mathrm{m^3/s\\ per\\ m} \times 35,3146667 \approx 4,95\\ \mathrm{ft^3/s\\ per\\ m}.

Passo 7

Resumo numérico (valores arredondados e amigáveis para a prova):
  • Velocidade a jusante: V_2 \approx 2,80\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão por metro de largura: Q' \approx 0,140\\ \mathrm{m^3/s\\ per\\ m}.
  • Vazão por metro de largura em pés cúbicos: Q' \approx 4,95\\ \mathrm{ft^3/s\\ per\\ m}.
Força final: deu trabalho, mas a conta é direta quando se entende que usamos Bernoulli entre duas superfícies livres — lembra que a diferença de cota vira “energia potencial” que se transforma em velocidade. Vai com tudo na prova!

Resposta

\;V_2 = 2,80\\ \mathrm{m/s}\n
\;Q' = 0,140\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}\,m^{-1}}\n
\;Q' = 4,95\\ \mathrm{ft^3\,s^{-1}\,m^{-1}}

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