Um tubo U atua como um sifão d’água. A curva no tubo está 1 m acima da superfície da água; a saída do tubo está 7 m abaixo. O fluido sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre, à pressão atmosférica. Se o escoamento é sem atrito, em primeira aproximação, determine (após listar as considerações necessárias) a velocidade do jato e a pressão absoluta do fluido na curva.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a velocidade do jato na saída do sifão.
  • Determinar a pressão absoluta do fluido no ponto mais alto (a curva) do sifão.
Informações dadas (peguei estes dados da figura enviada):
  • A curva superior do tubo está a 1\\ \text{m} acima da superfície livre do reservatório.
  • A saída do tubo está a 7\\ \text{m} abaixo da superfície livre do reservatório.
  • A pressão na saída é a pressão atmosférica.
  • O escoamento é sem atrito (escoamento ideal, incompressível, estacionário).
  • Tomarei a superfície do reservatório como plano de referência com elevação z=0 (conforme a figura).
  • Valores constantes usados: densidade da água \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e aceleração da gravidade g=9,81\\ \text{m/s}^2. Pressão atmosférica \;p_{\text{atm}}=101325\\ \text{Pa}.
Observações/assunções adicionais (aceitas numa primeira aproximação):
  • O reservatório é grande, logo a velocidade na superfície do reservatório pode ser tomada como desprezível ( v_{\text{superf}}\approx0).
  • O escoamento é estacionário e a velocidade é a mesma ao longo do tubo (seção constante considerada), de modo que a velocidade no ponto alto do tubo é igual à velocidade na saída.

Passo 2

Escolha do método e apresentação da ferramenta principal:
  • Vou usar a equação de Bernoulli entre dois pontos apropriados porque o escoamento é ideal e estacionário.
  • A equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem atrito) entre dois pontos quaisquer 1 e 2 é:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g z_2.
Onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • v é a velocidade local do fluido,
  • z é a elevação (vertical) do ponto,
  • g é a aceleração da gravidade.
Vou aplicá-la entre a superfície livre do reservatório (ponto 1: p_1=p_{\text{atm}}, v_1\approx0, z_1=0) e a saída do sifão (ponto 2: p_2=p_{\text{atm}}, v_2=v, z_2=-7\\ \text{m}) para encontrar v.

Passo 3

Cálculo da velocidade do jato (aplicando Bernoulli entre superfície livre e saída):
  • Escrevendo Bernoulli entre ponto 1 (superfície) e ponto 2 (saída):
p_{\text{atm}}+\tfrac{1}{2}\rho\cdot 0^2+\rho g\cdot 0 = p_{\text{atm}}+\tfrac{1}{2}\rho v^2+\rho g(-7).
  • As pressões atmosféricas cancelam; isolando v:
\tfrac{1}{2}\rho v^2 = \rho g\cdot 7 \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2g\cdot 7.
  • Portanto
v=\sqrt{2g\cdot 7}.
  • Numericamente:
v=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 7}=\sqrt{137{,}34}\approx 11{,}72\\ \text{m/s}.
Breve explicação física (didática): este resultado é o mesmo de Torricelli; a energia potencial gravitacional correspondente a uma queda de 7\\ \text{m} é convertida em energia cinética do jato, por isso v=\sqrt{2gh} com h=7\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar a pressão absoluta no ponto da curva (ponto alto) usando Bernoulli entre superfície e o ponto alto:
  • Ponto alto (A) tem elevação z_A=+1\\ \text{m} e velocidade v_A=v (a mesma velocidade do jato, pela conservação de massa em escoamento estacionário e tubo de mesma vazão).
  • Aplicando Bernoulli entre superfície (ponto 1) e A:
p_{\text{atm}}+\tfrac{1}{2}\rho\cdot 0^2+\rho g\cdot 0 = p_A+\tfrac{1}{2}\rho v^2+\rho g\cdot 1.
  • Isolando p_A:
p_A = p_{\text{atm}} - \tfrac{1}{2}\rho v^2 - \rho g\cdot 1.
  • Já sabemos v^2=2g\cdot 7. Substituindo e calculando termporariamente os termos:
\tfrac{1}{2}\rho v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(137{,}34)=68\,670\\ \text{Pa},
\rho g\cdot 1 = 1000\cdot 9{,}81\cdot 1 = 9\,810\\ \text{Pa}.
  • Soma das subtrações: 68\,670+9\,810=78\,480\\ \text{Pa}.
  • Logo
p_A = 101\,325 - 78\,480 = 22\,845\\ \text{Pa}\approx 2,28\times 10^{4}\\ \text{Pa}.
  • Em termos de pressão manométrica (em relação à atmosfera): p_A - p_{\text{atm}} = -78\,480\\ \text{Pa} (ou seja, um vácuo parcial relativo de cerca de 0{,}774\\ \text{atm}).
Comentário prático: como p_A\approx 2,28\times10^{4}\\ \text{Pa}, este valor é muito maior que a pressão de vapor da água à temperatura ambiente (alguns kPa), então não se espera cavitação imediata; porém, se a altura do topo fosse maior (ou a pressão ambiente menor), poderia ocorrer cavitação.

Passo 5

Resumo didático curto sobre aplicação em prova (dicas rápidas):
  • Identifique dois pontos convenientes para Bernoulli (superfície livre é quase sempre um bom ponto porque p=p_{\text{atm}} e v\approx0).
  • Se pressões iguais nos dois pontos aparecem, elas se cancelam e a equação simplifica muito.
  • Lembre-se que para sifão a velocidade depende da diferença vertical entre superfície do reservatório e a saída ( v=\sqrt{2g\Delta z}), não da altura do topo sozinha.
  • Sempre verifique se pressão calculada no ponto alto não fica abaixo da pressão de vapor (caso contrário, cavitação).

Resposta

v\approx 11,72\\ \text{m/s}
p_{A}\approx 2,28\times 10^{4}\\ \text{Pa} (pressão absoluta no ponto da curva)

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