Mostre que o escoamento a seguir é irrotacional e determine o seu potencial de velocidade. Considere o campo de escoamento dado por:
Passo 1
O enunciado dá a função de corrente (streamfunction)
com
. Ele pede duas coisas claras:
- Mostrar que o escoamento associado a essa
é irrotacional. - Determinar o potencial de velocidade
correspondente (se existir).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
acima (peguei isso do enunciado). - O valor numérico de
: .
Passo 2
O que é
e como obter as velocidades: em escoamentos bidimensionais incompressíveis podemos introduzir a função de corrente
tal que as componentes de velocidade
(no eixo
) e
(no eixo
) são dadas por
Explicando devagar: essa escolha garante automaticamente a conservação de massa (continuidade) porque
Ou seja, essas fórmulas são uma forma prática de garantir
. Notar que existe outra convenção de sinais em alguns livros; aqui usei a convenção que dá continuidade como acima.
Passo 3
Calcular as componentes de velocidade a partir de
. Primeiro calcule as derivadas parciais de
:
Usando as relações do passo anterior:
Substituindo
para numerizar (se quiser):
Passo 4
Definição de escoamento irrotacional e verificação: para um escoamento bidimensional a componente relevante da vorticidade é
Se
em toda a região, o escoamento é irrotacional (não há rotação local do fluido). Calcule:
Portanto
Conclusão: a vorticidade é nula em todo o campo, logo o escoamento é irrotacional. (Boa notícia: quando
existe potencial de velocidade local.)
Passo 5
O que é potencial de velocidade
e como obtê-lo: para escoamento irrotacional (e incompressível) existe uma função
tal que
Observação:
é determinada a menos de uma constante aditiva, pois derivadas não “veem” constantes.
Passo 6
Determinar
integrando as componentes de velocidade. Começamos por integrar a relação
:
Integração em
(tratando
como constante) dá
onde
é uma função arbitrária de
que aparece porque a derivada em
de
é zero.
Passo 7
Determinar
impondo
. Calcule a derivada:
Essa deve ser igual a
. Assim
Portanto
é constante:
.
Passo 8
Escrevendo a solução final para
: juntando tudo,
Substituindo
,
Normalmente escolhe-se
por conveniência, pois o potencial é definido a uma constante.
Resposta
O escoamento é irrotacional.