Mostre que o escoamento a seguir é irrotacional e determine o seu potencial de velocidade. Considere o campo de escoamento dado por:
\psi=a x^{2}-a y^{2}
a=3 \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a função de corrente (streamfunction)
\psi = a x^{2} - a y^{2},
com a=3\\ \mathrm{s}^{-1}. Ele pede duas coisas claras:
  • Mostrar que o escoamento associado a essa \psi é irrotacional.
  • Determinar o potencial de velocidade \varphi correspondente (se existir).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de \psi(x,y) acima (peguei isso do enunciado).
  • O valor numérico de a: a=3\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 2

O que é \psi e como obter as velocidades: em escoamentos bidimensionais incompressíveis podemos introduzir a função de corrente \psi(x,y) tal que as componentes de velocidade u (no eixo x) e v (no eixo y) são dadas por
u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Explicando devagar: essa escolha garante automaticamente a conservação de massa (continuidade) porque
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y\partial x} = 0.
Ou seja, essas fórmulas são uma forma prática de garantir \nabla\cdot\mathbf{u}=0. Notar que existe outra convenção de sinais em alguns livros; aqui usei a convenção que dá continuidade como acima.

Passo 3

Calcular as componentes de velocidade a partir de \psi. Primeiro calcule as derivadas parciais de \psi:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!(a x^{2} - a y^{2}) = -2a y,
\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!(a x^{2} - a y^{2}) = 2a x.
Usando as relações do passo anterior:
u = \frac{\partial \psi}{\partial y} = -2a y,\qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -2a x.
Substituindo a=3\\ \mathrm{s}^{-1} para numerizar (se quiser):
u = -6\,y,\qquad v = -6\,x.

Passo 4

Definição de escoamento irrotacional e verificação: para um escoamento bidimensional a componente relevante da vorticidade é
\omega_{z} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Se \omega_{z}=0 em toda a região, o escoamento é irrotacional (não há rotação local do fluido). Calcule:
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-2a x) = -2a, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2a y) = -2a.
Portanto
\omega_{z} = -2a - (-2a) = 0.
Conclusão: a vorticidade é nula em todo o campo, logo o escoamento é irrotacional. (Boa notícia: quando \omega_{z}=0 existe potencial de velocidade local.)

Passo 5

O que é potencial de velocidade \varphi e como obtê-lo: para escoamento irrotacional (e incompressível) existe uma função \varphi(x,y) tal que
u = \frac{\partial \varphi}{\partial x},\qquad v = \frac{\partial \varphi}{\partial y}.
Observação: \varphi é determinada a menos de uma constante aditiva, pois derivadas não “veem” constantes.

Passo 6

Determinar \varphi integrando as componentes de velocidade. Começamos por integrar a relação \partial \varphi/\partial x = u:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = u = -2a y.
Integração em x (tratando y como constante) dá
\varphi(x,y) = \int (-2a y)\,dx = -2a x y + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y que aparece porque a derivada em x de g(y) é zero.

Passo 7

Determinar g(y) impondo \partial \varphi/\partial y = v. Calcule a derivada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2a x y + g(y)) = -2a x + g'(y).
Essa deve ser igual a v = -2a x. Assim
-2a x + g'(y) = -2a x \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Portanto g(y) é constante: g(y)=C.

Passo 8

Escrevendo a solução final para \varphi: juntando tudo,
\varphi(x,y) = -2a x y + C.
Substituindo a=3\\ \mathrm{s}^{-1},
\varphi(x,y) = -6\,x y + C.
Normalmente escolhe-se C=0 por conveniência, pois o potencial é definido a uma constante.

Resposta

O escoamento é irrotacional.
\varphi(x,y) = -6\,x y + C

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