Dê uma pequena barragem, parte uma canalização de 250 mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 125 mm , do qual a água passa para a atmosfera sob forma de jato. A vazão na tubulação foi medida, encontrando-se 105 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Utilize a massa específica =1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcular:
a) a pressão manométrica na seção inicial da tubulação de 250 mm ;
b) a altura de água H na barragem;
c) a potência do jato em W (watts) e em hp, sabendo que 1 \mathrm{~W}=1 \mathrm{Nm} / \mathrm{s} e 1 \mathrm{hp}=745,7 \mathrm{~W}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a pressão manométrica na seção inicial da tubulação de 250\\ \mathrm{mm}.
  • (b) Calcular a altura de água H na barragem (altura entre a superfície livre e o eixo da tubulação).
  • (c) Calcular a potência do jato em \mathrm{W} e em \mathrm{hp}.
Dados fornecidos (dados numéricos obtidos do enunciado/figura):
  • Vazão: Q = 105\\ \mathrm{L/s} = 0,105\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetro da tubulação inicial: d_1 = 250\\ \mathrm{mm} = 0,250\\ \mathrm{m}. (informação da figura)
  • Diâmetro após redução: d_2 = 125\\ \mathrm{mm} = 0,125\\ \mathrm{m}. (informação da figura)
  • A água sai para a atmosfera (pressão na saída igual à atmosférica). (informação da figura)
  • Massa específica: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação importante (sem resolver ainda): a tubulação é curta e a saída é um jato livre para a atmosfera; vou assumir perdas por atrito e singularidades desprezíveis (método mais simples e usual para este tipo de exercício introdutório).

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e por que):
  • Método usado: Equação da continuidade (conservação de massa) para relacionar vazão e velocidades, e Equação de Bernoulli (conservação de energia por unidade de massa) entre a superfície livre e os pontos internos/saída.
  • Por que esse método: o enunciado pede alturas e pressões relacionadas à velocidade do jato; a aplicação direta da equação de Bernoulli entre a superfície livre (onde a pressão é atmosférica e a velocidade é praticamente zero) e a saída (atmosfera) fornece a relação entre H e a velocidade do jato. A continuidade relaciona as velocidades nas duas seções por causa das áreas diferentes.

Passo 3

Equação da continuidade — conceito e fórmula:
  • Conceito: para escoamento incompressível e estacionário a vazão volumétrica é a mesma em todas as seções.
  • Fórmula:
Q = A\,v
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • A é a área da seção ( \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade média do fluido na seção ( \mathrm{m/s}).
Cálculo das áreas das seções circulares:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Para a seção 1 ( d_1=0,250\\ \mathrm{m}):
A_1 = \frac{\pi (0,250)^2}{4} = \pi\cdot 0,015625 \approx 0,04909\\ \mathrm{m^2}.
Para a seção 2 ( d_2=0,125\\ \mathrm{m}):
A_2 = \frac{\pi (0,125)^2}{4} = \pi\cdot 0,00390625 \approx 0,01227\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Cálculo das velocidades usando a continuidade (passo a passo):
v_1 = \frac{Q}{A_1}=\frac{0,105}{0,049087385}\approx 2{,}14\\ \mathrm{m/s}.
v_2 = \frac{Q}{A_2}=\frac{0,105}{0,012271846}\approx 8{,}56\\ \mathrm{m/s}.
Observação numérica simples (checagem): como d_2 = d_1/2, a razão de áreas é A_1/A_2 = (d_1/d_2)^2 = 4, portanto v_2 = 4\,v_1, que confere com os valores calculados.

Passo 5

Determinação da altura H pela Equação de Bernoulli entre a superfície livre e a saída do jato:
  • Explicação da Bernoulli (forma simplificada entre dois pontos imersos em um escoamento incompressível, sem trabalho nem trocas de calor):
\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constante}
onde:
  • p é a pressão absoluta ( \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • z é a cota (elevação) ( \mathrm{m}).
Aplicando entre a superfície livre (padrão atmosférico p_{atm}, v\approx 0, cota z=H) e a saída do jato (p =p_{atm}, v=v_2, cota z=0):
  • Os termos de pressão p_{atm}/(\rho g) cancelam, sobrando:
H = \frac{v_2^2}{2g}.
Substituindo v_2 \approx 8{,}56\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
H = \frac{(8{,}56)^2}{2\cdot 10} \approx \frac{73{,}3}{20} \approx 3{,}66\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da pressão manométrica na seção inicial 1 (explicação e contas):
  • Usar Bernoulli entre a superfície livre (pressão atmosférica) e a seção 1 (pressão p_1, velocidade v_1, cota z=0):
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + 0 = \frac{p_{atm}}{\rho g} + 0 + H.
Cancelando p_{atm}/(\rho g) e isolando p_1 (pressão absoluta menos p_{atm} → pressão manométrica):
p_1 = \rho g\left(H - \frac{v_1^2}{2g}\right) = \rho\left(gH - \frac{v_1^2}{2}\right).
Substituindo os valores ( \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=10\\ \mathrm{m/s^2}, H\approx 3{,}66\\ \mathrm{m}, v_1\approx 2{,}14\\ \mathrm{m/s}):
  • Calcular gH:
gH \approx 10\cdot 3{,}66 = 36{,}6\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Calcular \dfrac{v_1^2}{2}:
\frac{v_1^2}{2} \approx \frac{(2{,}14)^2}{2} \approx \frac{4{,}58}{2} \approx 2{,}29\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Subtrair e multiplicar por \rho:
p_1 \approx 1000\cdot(36{,}6 - 2{,}29) \approx 1000\cdot 34{,}31 \approx 34{,}310\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 34{,}3\\ \mathrm{kPa}).

Passo 7

Cálculo da potência do jato (explicação e contas):
  • Conceito: potência cinética transportada pelo jato (taxa de energia cinética) é dada por:
P = \dot m \cdot \frac{v_2^2}{2},
onde \dot m é a massa por segundo ( \dot m = \rho Q).
  • Substituindo:
P = \rho Q \cdot \frac{v_2^2}{2}.
Usando \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, Q=0,105\\ \mathrm{m^3/s}, v_2\approx 8{,}56\\ \mathrm{m/s}:
P \approx 1000\cdot 0,105 \cdot \frac{(8{,}56)^2}{2} \approx 1000\cdot 0,105 \cdot 36{,}6 \approx 3845\\ \mathrm{W}.
Conversão para horsepower ( 1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W}):
P_{\mathrm{hp}} = \frac{3845}{745{,}7} \approx 5{,}16\\ \mathrm{hp}.

Resposta

a) p_1 \approx 34{,}3\\ \mathrm{kPa} (pressão manométrica na seção de 250\\ \mathrm{mm}).
b) H \approx 3{,}66\\ \mathrm{m}.
c) P \approx 3{,}845\\ \mathrm{kW} \approx 5{,}16\\ \mathrm{hp}.

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