Sob que condições o campo de velocidade abaixo representa um escoamento incompressível que conserva a massa?
\mathbf{V}=\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z\right) \mathbf{i}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z\right) \mathbf{j}+\left(a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade linear em função das coordenadas:
\mathbf{V}=\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z\right)\mathbf{i}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z\right)\mathbf{j}+\left(a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z\right)\mathbf{k}
E pede: sob que condições esse campo representa um escoamento incompressível que conserva a massa?
Informações relevantes que temos:
  • As componentes da velocidade são funções lineares de x,y,z com coeficientes a_i,b_i,c_i (com i=1,2,3).
  • Precisamos relacionar esses coeficientes de modo que o escoamento seja incompressível e, portanto, conserve massa no sentido usual (continuidade).

Passo 2

Relembrando a teoria (passo-a-passo, sem pular etapas):
  1. Equação de conservação de massa (continuidade) geral para um fluido compressível é
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=0,
onde \rho=\rho(x,y,z,t) é a densidade e \mathbf{V} o campo de velocidade. Essa equação diz que a taxa de variação local da massa mais o fluxo divergente de massa é zero.
  1. Podemos reescrever a equação usando a derivada material D/Dt (derivada seguindo uma partícula fluida):
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\,\nabla\cdot\mathbf{V}=0,
onde \dfrac{D}{Dt}=\dfrac{\partial}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot\nabla.
  1. Definição prática de escoamento incompressível usada em muitos problemas: a densidade é constante ao longo de partículas fluídas, isto é \dfrac{D\rho}{Dt}=0. Para o caso mais simples e usual em provas, isso equivale a considerar \rho= constante espacialmente e no tempo ou, ao menos, \rho constante ao seguir partículas. Nessa situação, a equação de continuidade reduz-se a
\nabla\cdot\mathbf{V}=0.
Portanto, para um escoamento incompressível (densidade constante), a condição necessária e suficiente é que o campo de velocidade seja divergente nulo em todo o domínio.
Observação intuitiva: \nabla\cdot\mathbf{V} mede a taxa de variação relativa do volume de um elemento de fluido; se for zero, volumes infinitesimais são conservados e, com densidade constante, a massa é conservada.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente a divergência do campo dado. Escrevendo as componentes:
V_x=a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z,\qquad V_y=a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z,\qquad V_z=a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z.
A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.
Calcule cada derivada parcial (cada passo bem explícito):
\frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z\bigr)=a_{1},
pois b_{1}y e c_{1}z são independentes de x.
\frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z\bigr)=b_{2},
\frac{\partial V_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z\bigr)=c_{3}.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{V}=a_{1}+b_{2}+c_{3}.

Passo 4

Aplicando a condição de incompressibilidade (densidade constante) que exige \nabla\cdot\mathbf{V}=0, obtemos a relação entre coeficientes:
a_{1}+b_{2}+c_{3}=0.
Isso é a condição necessária e suficiente para que o campo dado seja divergente nulo em todo o espaço (e, portanto, incompressível no sentido usual).

Passo 5

Comentário prático e interpretação (para usar na prova):
  • Se a densidade do fluido for constante (caso mais comum em exercícios), então a conservação de massa é garantida exatamente quando \nabla\cdot\mathbf{V}=0, ou seja quando a_{1}+b_{2}+c_{3}=0.
  • Se a densidade não for constante, ainda vale a equação geral \dfrac{D\rho}{Dt}+\rho\,\nabla\cdot\mathbf{V}=0. Para o campo linear dado, isso implica que a densidade deve satisfazer uma equação adiática linear ao longo das trajetórias. Em particular, se \nabla\cdot\mathbf{V}\neq0 então a densidade não pode ser constante e evoluirá segundo \dfrac{D\rho}{Dt}=-\rho(a_{1}+b_{2}+c_{3}). Mas para afirmar “escoamento incompressível que conserva a massa” no sentido clássico de incompressibilidade, exige-se \nabla\cdot\mathbf{V}=0.

Resposta

a_{1}+b_{2}+c_{3}=0

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