Sob que condições o campo de velocidade abaixo representa um escoamento incompressível que conserva a massa?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade linear em função das coordenadas:
E pede: sob que condições esse campo representa um escoamento incompressível que conserva a massa?
Informações relevantes que temos:
- As componentes da velocidade são funções lineares de
com coeficientes (com ). - Precisamos relacionar esses coeficientes de modo que o escoamento seja incompressível e, portanto, conserve massa no sentido usual (continuidade).
Passo 2
Relembrando a teoria (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Equação de conservação de massa (continuidade) geral para um fluido compressível é
onde
é a densidade e
o campo de velocidade. Essa equação diz que a taxa de variação local da massa mais o fluxo divergente de massa é zero.
- Podemos reescrever a equação usando a derivada material
(derivada seguindo uma partícula fluida):
onde
.
- Definição prática de escoamento incompressível usada em muitos problemas: a densidade é constante ao longo de partículas fluídas, isto é
. Para o caso mais simples e usual em provas, isso equivale a considerar constante espacialmente e no tempo ou, ao menos, constante ao seguir partículas. Nessa situação, a equação de continuidade reduz-se a
Portanto, para um escoamento incompressível (densidade constante), a condição necessária e suficiente é que o campo de velocidade seja divergente nulo em todo o domínio.
Observação intuitiva:
mede a taxa de variação relativa do volume de um elemento de fluido; se for zero, volumes infinitesimais são conservados e, com densidade constante, a massa é conservada.
Passo 3
Vamos calcular explicitamente a divergência do campo dado. Escrevendo as componentes:
A divergência é
Calcule cada derivada parcial (cada passo bem explícito):
pois
e
são independentes de
.
Somando,
Passo 4
Aplicando a condição de incompressibilidade (densidade constante) que exige
, obtemos a relação entre coeficientes:
Isso é a condição necessária e suficiente para que o campo dado seja divergente nulo em todo o espaço (e, portanto, incompressível no sentido usual).
Passo 5
Comentário prático e interpretação (para usar na prova):
- Se a densidade do fluido for constante (caso mais comum em exercícios), então a conservação de massa é garantida exatamente quando
, ou seja quando . - Se a densidade não for constante, ainda vale a equação geral
. Para o campo linear dado, isso implica que a densidade deve satisfazer uma equação adiática linear ao longo das trajetórias. Em particular, se então a densidade não pode ser constante e evoluirá segundo . Mas para afirmar “escoamento incompressível que conserva a massa” no sentido clássico de incompressibilidade, exige-se .