4- Água escoa com vazão mássica de 0,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} por um tubo anelar concêntrico a uma temperatura média de entrada e de saída de 20 e 80^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. O tubo anelar concêntrico tem diâmetro interno e externo de 25 e 100 mm , respectivamente. A parede interna do tubo é mantida a uma temperatura da superfície constante de 120^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que a superfície externa do tubo é isolada. Determine o comprimento do tubo anelar concêntrico.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de água em um tubo anelar concêntrico com vazão mássica \dot m=0{,}7\\ \mathrm{kg/s}. O fluido entra a T_\mathrm{in}=20\,^\circ\mathrm{C} e sai a T_\mathrm{out}=80\,^\circ\mathrm{C}. O tubo interno (diâmetro externo D_i=25\\ \mathrm{mm}) tem a superfície mantida a T_s=120\,^\circ\mathrm{C} e a parede externa do anel é isolada. O diâmetro interno do tubo externo é D_o=100\\ \mathrm{mm}. Precisamos achar o comprimento L do tubo usando transferência de calor por convecção interna, com coeficiente convectivo calculado pela correlação de Dittus–Boelter e diferença de temperatura média logarítmica.

Passo 2

Calcular a potência térmica requerida pelo aquecimento da água:
Q = \dot m\,c_p\,(T_\mathrm{out}-T_\mathrm{in}),
onde tomamos c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Q = 0{,}7 \times 4180 \times (80-20) = 0{,}7 \times 4180 \times 60 = 175\,560\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Determinar o coeficiente convectivo h no anel:
  1. Diâmetro hidráulico
D_h = D_o - D_i = 0{,}100 - 0{,}025 = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
  1. Área de escoamento
A = \frac\pi4\bigl(D_o^2 - D_i^2\bigr) = \frac\pi4\bigl(0{,}100^2 - 0{,}025^2\bigr) \approx 7{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Velocidade média
    Adotamos \rho\approx 988\\ \mathrm{kg/m^3} a 50\,^\circ\mathrm{C}:
v = \frac{\dot m}{\rho\,A} = \frac{0{,}7}{988\times7{,}36\times10^{-3}} \approx 0{,}096\\ \mathrm{m/s}.
  1. Número de Reynolds
    Com \mu\approx5{,}47\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D_h}{\mu} = \frac{988\times0{,}096\times0{,}075}{5{,}47\times10^{-4}} \approx 1{,}3\times10^{4},
logo escoamento turbulento.
5. Número de Prandtl
Adotamos \Pr\approx2{,}5.
6. Correlação de Dittus–Boelter ( n=0,4 para aquecimento):
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0,8}\Pr^{0,4} \approx 0{,}023\times(1{,}3\times10^4)^{0,8}\times2{,}5^{0,4} \approx 64{,}8.
  1. Coeficiente convectivo
    Com k\approx0{,}647\\ \mathrm{W/(m\,K)} a 50\,^\circ\mathrm{C}:
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_h} = \frac{64{,}8\times0{,}647}{0{,}075} \approx 559\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) para parede a 120\,^\circ\mathrm{C} e fluido variando de 20 a 80\,^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_1 = T_s - T_\mathrm{in} = 120 - 20 = 100\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_s - T_\mathrm{out} = 120 - 80 = 40\\ \mathrm{K},
\Delta T_\mathrm{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} = \frac{100 - 40}{\ln(100/40)} \approx 65{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Relacionar Q com convecção
Q = h\,P\,L\,\Delta T_\mathrm{lm},
onde P é o perímetro molhado (circunferência interna do anel)
P = \pi D_i = \pi \times0{,}025 \approx 0{,}0785\\ \mathrm{m}.
Isolando L:
L = \frac{Q}{h\,P\,\Delta T_\mathrm{lm}} = \frac{175\,560}{559 \times 0{,}0785 \times 65{,}5} \approx 61{,}1\\ \mathrm{m}.

Resposta

O comprimento do tubo anelar concêntrico deve ser aproximadamente 61\\ \mathrm{m}.

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