Questão 3)

Durante o processo de cura de um bloco de argila usado em construção ecológica, é necessário controlar a perda de umidade para evitar fissuras. Um bloco de argila, inicialmente com 19,2 \% de umidade média (base seca), tem formato retangular com dimensões de (0,5 \times 15 \times 30) \mathrm{cm}^{3}. A secagem ocorre a 35^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , sendo as duas faces planas menores (de 0,5 \mathrm{~cm} de espessura) expostas à secagem. A umidade de equilíbrio é de 10,5 \% e o coeficiente efetivo de difusão da água na argila é D e f= 1,2 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Calcule o tempo necessário para que a umidade média do bloco caia para 15 \%.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que a umidade média de um bloco de argila caia de 19,2 % para 15 % (ambas em base seca), sabendo que a umidade de equilíbrio é 10,5 %, a espessura do bloco é 0,5 cm e o coeficiente efetivo de difusão da água na argila é D_{\mathrm{ef}} = 1,2\times10^{-5}\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Conteúdo: difusão unidimensional em chapa (seco de ambas faces), usando a solução em série para o decaimento da umidade média e a aproximação de um termo dominante (long‐time approximation).

Passo 2

Definimos as variáveis do problema:
- Umidade inicial média \,M_0 = 19{,}2\%.
- Umidade desejada \,M(t) = 15\%.
- Umidade de equilíbrio \,M_e = 10{,}5\%.
- Espessura total da chapa \,h = 0{,}5\,\mathrm{cm}, logo a meia‐espessura é
L = \frac{h}{2} = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25\,\mathrm{cm}.

Passo 3

Para chapa seca em ambas as faces, a solução em série para a razão de umidade
\mathrm{MR}(t) = \frac{M(t)-M_e}{M_0 - M_e}
é
\mathrm{MR}(t) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{(2n+1)\pi} \exp\!\biggl[-\frac{(2n+1)^2\pi^2\,D_{\mathrm{ef}}\,t}{4L^2}\biggr].
Para tempos moderados a longos, usa‐se só o primeiro termo ( n=0), isto é
\mathrm{MR}(t)\approx \frac{4}{\pi} \exp\!\biggl[-\frac{\pi^2\,D_{\mathrm{ef}}\,t}{4L^2}\biggr].

Passo 4

Calculamos a razão de umidade alvo:
\mathrm{MR} = \frac{15 - 10{,}5}{19{,}2 - 10{,}5} = \frac{4{,}5}{8{,}7} \approx 0{,}51724.
Então, da aproximação de um termo,
\frac{4}{\pi} \exp\!\Bigl[-\tfrac{\pi^2\,D_{\mathrm{ef}}\,t}{4L^2}\Bigr] = \mathrm{MR} \quad\Longrightarrow\quad \exp\!\Bigl[-\tfrac{\pi^2\,D_{\mathrm{ef}}\,t}{4L^2}\Bigr] = \frac{\pi}{4}\,\mathrm{MR}.
Isolando t:
t = -\,\frac{4L^2}{\pi^2\,D_{\mathrm{ef}}} \ln\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\,\mathrm{MR}\Bigr).

Passo 5

Substituindo números:
L^2 = (0{,}25)^2 = 0{,}0625\;\mathrm{cm}^2, \quad \frac{\pi}{4}\,\mathrm{MR} \approx 0{,}7854\times0{,}51724 = 0{,}4065,
t = -\,\frac{4\times0{,}0625}{\pi^2\times1{,}2\times10^{-5}} \ln(0{,}4065) \;\mathrm{s}.
Calculando:
-\ln(0{,}4065)\approx0{,}9002, \quad \frac{4\times0{,}0625}{\pi^2\times1{,}2\times10^{-5}} \approx2{,}092\times10^{3},
t \approx 2{,}092\times10^{3}\times0{,}9002 \approx 1{,}883\times10^{3}\;\mathrm{s} \approx 31{,}4\;\mathrm{min}.

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 1{,}9\times10^{3} s, ou seja cerca de 31,5 min.

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