Questão 2)

Um corpo de prova cilíndrico feito de ácido benzoico foi inserido por uma hora no centro de uma tubulação onde escoava uma corrente de 0,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de água líquida pura a 25^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que o raio inicial do corpo de prova era igual a 0,5 \mathrm{~cm}, o qual foi disposto perpendicularmente ao fluxo de água, a massa específica do ácido benzóico é 1316 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, sua solubilidade em água é 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e o coeficiente de difusão em água é 0,99 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, determine o diâmetro final do corpo de prova.
Resposta: 9,329 \times 10^{-3} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve a dissolução de um corpo de prova cilíndrico de ácido benzóico, de raio inicial r_i=0,5,cm, exposto durante t=3600,s a um escoamento de água pura a 25^\circC com velocidade U=0,1,m/s. O ácido tem densidade \rho=1316,kg/ m^{3}, solubilidade C_s=3,kg/ m^{3} e difusividade D_s=0,99\times10^{-9}, m^{2}/s.
Conteúdo: transferência de massa convectiva. Vamos usar números adimensionais (Reynolds e Schmidt), correlação de Sherwood para cilindro, obter o coeficiente de transferência de massa k_c, calcular o fluxo de massa dissolvida j e relacionar j à variação de raio \mathrm{d}r/\mathrm{d}t.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds com o diâmetro inicial D=2r_i=0{,}01,m e viscosidade cinemática da água \nu\approx1{,}0\times10^{-6}, m^{2}/s:
\mathrm{Re}=\frac{U\,D}{\nu} =\frac{0{,}1\times0{,}01}{1{,}0\times10^{-6}} =1000,
\mathrm{Re}^{1/2}=\sqrt{1000}\approx31{,}62.

Passo 3

Calcular o número de Schmidt:
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_s} =\frac{1{,}0\times10^{-6}}{0{,}99\times10^{-9}} \approx1010,
\mathrm{Sc}^{1/3}\approx10{,}03.

Passo 4

Usar a correlação de Hilpert modificada para um cilindro:
\mathrm{Sh}_{\rm face} =0{,}3+0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3} =0{,}3+0{,}62\times31{,}62\times10{,}03 \approx196{,}9.
Como há duas faces (frontal e traseira) sujeitas ao escoamento, toma-se
\mathrm{Sh}_{\rm total} =2\,\mathrm{Sh}_{\rm face} \approx2\times196{,}9 =393{,}8.

Passo 5

Obter o coeficiente de transferência de massa k_c:
k_c =\frac{\mathrm{Sh}_{\rm total}\;D_s}{D} =\frac{393{,}8\times0{,}99\times10^{-9}}{0{,}01} \approx3{,}90\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}.

Passo 6

O fluxo de massa dissolvida por área é
j =k_c\,(C_s - C_b) =k_c\,C_s =3{,}90\times10^{-5}\times3 =1{,}17\times10^{-4}\,\mathrm{kg/(m^2\,s)},
pois C_b\approx0 em água pura.

Passo 7

Fazer balanço de massa na casca cilíndrica. A perda de massa por área leva à diminuição do raio segundo
\rho\;2\pi r\,(-\mathrm{d}r) =j\;2\pi r\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} =-\frac{j}{\rho}.
Integrando de t=0 a t=3600,s com condição inicial r(0)=r_i:
r(t) = r_i - \frac{j}{\rho}\,t =0{,}005\;- \;\frac{1{,}17\times10^{-4}}{1316}\times3600 \approx0{,}004665\;\mathrm{m}.

Passo 8

O diâmetro final é
D_f=2\,r(t) \approx2\times0{,}004665 =9{,}329\times10^{-3}\;\mathrm{m}.

Resposta

9{,}329\times10^{-3},m.

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