Água escoa com vazão de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} através de um tubo de aluminio com 5 cm de diâmetro interno, 6 cm de diâmetro extemo e 10 m de comprimento. A água entra a temperatura média de 30^{\circ} \mathrm{C} na tubulação e é aquecida por um escoamento de ar com T_{n}=200^{\circ} \mathrm{C} e u_{n}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que passa transversalmente ao redor do tubo. Determine a temperatura média de saida da agua.
Propriedade do Aluminio: \mathrm{k}=237 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
Propriedades do ar a T_{\text {f. }} k=0,03555 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \mu=2,404 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa}. \mathrm{s}, \mathrm{Pr}=0,688, p=0,82255 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
Propriedades da água a T_{\infty}=C_{p}=4178 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} \cdot \mathrm{k}=0,62 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}: \mathrm{Pr}=5,2 ; \mu=7,69 \times 10^{-4} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} ; \mathrm{p}=995 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O problema descreve fluxo de água dentro de um tubo de alumínio de L=10\\ \mathrm{m}, diâmetro interno D_i=0,05\\ \mathrm{m} e externo D_o=0,06\\ \mathrm{m}. A água entra a T_{\text{in}}=30\,^\circ\mathrm{C} com vazão mássica \dot m=1\\ \mathrm{kg/s} e sai a uma temperatura T_{\text{out}} que devemos determinar. O tubo é aquecido por ar a T_{\infty}=200\,^\circ\mathrm{C} e u_{\infty}=20\\ \mathrm{m/s}.
Conteúdo: coeficientes de convecção interna (água) e externa (ar), resistência de condução na parede, modelo de trocador com fluxo de água em regime permanente trocando calor com ar de temperatura constante. Usaremos
  1. Dittus–Boelter para convecção interna;
  2. correlação para cilindro em escoamento transversal para a convecção externa;
  3. soma das resistências térmicas para obter UA e fórmula T_{\text{out}}-T_{\infty}=(T_{\text{in}}-T_{\infty})\exp\bigl(-UA/(\dot m c_p)\bigr).

Passo 2

Calcular coeficiente interno h_i. Primeiro a velocidade da água
u_i=\frac{\dot m}{\rho\,A_i} \quad\text{com}\quad A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}
u_i=\frac{1}{995\cdot\pi(0,05)^2/4}\approx0,51\\ \mathrm{m/s}.
Reynolds interno
\mathrm{Re}_i =\frac{\rho\,u_i\,D_i}{\mu} =\frac{995\cdot0,51\cdot0,05}{7{,}69\times10^{-4}} \approx3{,}3\times10^4.
Usando Dittus–Boelter
\mathrm{Nu}_i=0,023\,\mathrm{Re}_i^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4} \approx0,023\,(3{,}3\times10^4)^{0,8}(5,2)^{0,4}\approx183{,}4,
h_i=\frac{\mathrm{Nu}_i\,k_{\text{água}}}{D_i} =\frac{183{,}4\cdot0{,}62}{0,05}\approx226{,}6\\ \mathrm{W/m^2K}.á

Passo 3

Calcular coeficiente externo h_o. Reynolds externo
\mathrm{Re}_o =\frac{\rho_{\text{ar}}\,u_{\infty}\,D_o}{\mu_{\text{ar}}} =\frac{0,82255\cdot20\cdot0,06}{2{,}404\times10^{-5}} \approx4{,}1\times10^4.
Para escoamento transversal em cilindro ( 4\cdot10^3<\mathrm{Re}<4\cdot10^4) usa-se
\mathrm{Nu}_o =C\,\mathrm{Re}_o^m\,\mathrm{Pr}^{0,36}, \quad C=0,045,\\ m=0,8,
\mathrm{Nu}_o =0,045\,(4{,}1\times10^4)^{0,8}(0,688)^{0,36} \approx193{,}0,
h_o=\frac{\mathrm{Nu}_o\,k_{\text{ar}}}{D_o} =\frac{193{,}0\cdot0{,}03555}{0,06} \approx114{,}3\\ \mathrm{W/m^2K}.

Passo 4

Calcular resistências térmicas por unidade de temperatura:
  1. Convecção interna
R_i=\frac{1}{h_i\,A_i} =\frac{1}{226{,}6\cdot\pi\cdot0,05\cdot10}\approx0,00281\\ \mathrm{K/W}.
  1. Condução na parede cilíndrica
R_c =\frac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi k_{\text{Al}} L} =\frac{\ln(0,06/0,05)}{2\pi\cdot237\cdot10} \approx1,22\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
  1. Convecção externa
R_o=\frac{1}{h_o\,A_o} =\frac{1}{114{,}3\cdot\pi\cdot0,06\cdot10} \approx0,00464\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total
R_{\text{tot}}=R_i+R_c+R_o\approx0,00281+0,000012+0,00464=0,00746\\ \mathrm{K/W},
e então
UA=\frac1{R_{\text{tot}}}\approx\frac1{0,00746}\approx134{,}0\\ \mathrm{W/K}.

Passo 5

Balanço de energia em regime permanente com ar de temperatura constante T_{\infty}=200\,^\circ\mathrm{C}
T_{\text{out}}-T_{\infty} =(T_{\text{in}}-T_{\infty}) \exp\Bigl(-\frac{UA}{\dot m\,c_p}\Bigr).
Aqui \dot m\,c_p=1\cdot4178=4178\\ \mathrm{W/K}. Então
\frac{UA}{\dot m\,c_p} =\frac{134{,}0}{4178}\approx0,0321,
T_{\text{out}} =200 - (200-30)\exp(-0,0321) \approx200 -170\cdot0,9684 \approx35{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura média de saída da água é aproximadamente 35{,}4\,^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados