\mathbf{( 3 , 0 )} Feliz pelo término do semestre e por sua aprovação em Fenômenos de Tranferência, você decide dar uma festa em uma chácara localizada em um rincão distante do interior de Alegrete, onde não há energia elétrica, e por este motivo se faz necessário armazenar gelo para gelar as bebidas da festa. Sendo assim você compra uma bela caixa de isopor ( \kappa=0.033 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}) ) com dimensões 40 \mathrm{~cm} \times 50 \mathrm{~cm} \times 50 \mathrm{~cm}, a qual possui 3 cm de expessura. Após comprar 50 kg de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} e armazenar na caixa, você começa a se preocupar com o tempo que o gelo levará para derreter completamente, e assim decide utilizar os conhecimentos adquiridos ao longo do semestre para fazer tal cálculo. Desta forma você levanta as seguintes hipóteses a partir de suas observações: 1) o gelo e a superfície interior da caixa estão em equilíbrio térmico por todo o período de derretimento; 2) A temperatura da superfície externa da caixa é 8^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura do ar ao redor é 25^{\circ} \mathrm{C} durante todo o período. Sabendo que o calor latente de fusão da água é 333,7 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, qual será o tempo que o gelo levará para derreter completamente?

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para derreter completamente uma massa de 50\:\mathrm{kg} de gelo a 0^\circ\mathrm C, armazenado no interior de uma caixa de isopor de paredes de espessura L=3\:\mathrm{cm}. A face interna da caixa está a 0^\circ\mathrm C (em contato com o gelo) e a face externa a 8^\circ\mathrm C. Vamos usar o regime estacionário de condução de calor em parede plana, com condutividade térmica \kappa=0,033\:\mathrm{W/(m\,K)}, e desprezar a resistência de convecção (pois já nos dão a temperatura da face externa).

Passo 2

Calculamos a área total de troca térmica entre o gelo e o ambiente, que é a soma das seis faces da caixa. As dimensões internas são 0{,}40\times0{,}50\times0{,}50\:\mathrm{m}, logo:
A_{\text{total}} =2\,(0{,}40\times0{,}50)+2\,(0{,}40\times0{,}50)+2\,(0{,}50\times0{,}50) =0{,}4+0{,}4+0{,}5 =1{,}3\:\mathrm{m^2}.

Passo 3

Na condução estacionária unidirecional em parede de espessura L, a taxa de calor é
\dot Q =\frac{\kappa\,A_{\text{total}}\,\Delta T}{L},
onde \Delta T=T_{\text{ext surf}}-T_{\text{int surf}}=8\,\mathrm K. Substituindo:
\dot Q =\frac{0,033\times1{,}3\times8}{0,03} \approx11{,}44\:\mathrm{W}.

Passo 4

A energia necessária para fundir totalmente o gelo é
Q_{\text{fusão}} =m\,L_f =50\:\mathrm{kg}\times333{,}7\times10^3\:\mathrm{J/kg} =1{,}6685\times10^7\:\mathrm J.ã

Passo 5

O tempo para que essa energia seja suprida, no regime estacionário, é
t=\frac{Q_{\text{fusão}}}{\dot Q} =\frac{1{,}6685\times10^7}{11{,}44} \approx1{,}458\times10^6\:\mathrm s.ã
Convertendo para horas e dias:
t\approx\frac{1{,}458\times10^6}{3600}\approx405\:\mathrm h \quad\Longrightarrow\quad \approx16{,}9\:\mathrm{dias}.

Resposta

O gelo leva aproximadamente 1{,}46\times10^6\:\mathrm s, ou cerca de 17 dias, para derreter completamente.

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