4 Água flui em um tubo a uma temperatura média T_{\infty}=90^{\circ} \mathrm{C}. Os raios interno e externo do tubo medem r_{1}=6 \mathrm{~cm} e r_{1}=6,5 \mathrm{~cm}, respectivamente. A superfície externa do tubo está envolta por um fino aquecedor elétrico que consome 400 W por metro de comprimento do tubo. A superfície exposta do aquecedor é forte mente isolada, de modo que todo o calor gerado é transferido para o tubo. O calor é transferido da superfície interna do tubo para a água por convecção com coeficiente de transferência de calor h=85 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Considerando uma condutividade térmica constante e uma transferência de calor unidimensional, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor no tubo durante operação permanente. Não resolva o problema.

Passo 1

O problema é de condução de calor estacionária, unidimensional em coordenadas cilíndricas, no corpo de um tubo de raio interno \,r_{1}=0{,}06\:\mathrm{m} e raio externo \,r_{2}=0{,}065\:\mathrm{m}. Na face interna há convecção com coeficiente h=85\:\mathrm{W/m^{2}K} e fluido a \,T_{\infty}=90\:^ {\circ}\mathrm{C}. Na face externa o tubo recebe, de um aquecedor isolado, uma taxa de calor \dot Q' =400\:\mathrm{W/m} (por comprimento). A condutividade k do material é constante. Vamos formular a equação diferencial e as condições de contorno, sem resolver.

Passo 2

Na região do tubo r_{1}\le r\le r_{2}, sem geração interna de calor e em regime permanente, a equação de energia em coordenadas cilíndricas reduz-se a
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dT}{dr}\Bigr) \;=\;0.

Passo 3

Condição de contorno na face interna r=r_{1}:
o fluxo condutivo que sai do metal iguala o fluxo convectivo para o fluido. Assim, com o sinal adotado positivo para calor indo para dentro do sólido,
-k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} \;=\; h\bigl[T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr].

Passo 4

Condição de contorno na face externa r=r_{2}:
o aquecedor fornece \dot Q' por metro de tubo, de modo que o fluxo condutivo que entra no tubo pela área lateral 2\pi r_{2}\times1 m seja igual a esse valor. Em forma pontual de fluxo de calor por área,
-q'' \;=\; -\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{2}} \quad\text{com}\quad q'' \;=\;\frac{\dot Q'}{2\pi\,r_{2}}.
Ou, equivalentemente, em termos de taxa por comprimento,
-\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{2}}\;2\pi\,r_{2} \;=\; \dot Q'.

Resposta

Equação diferencial e condições de contorno:
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dT}{dr}\Bigr)=0,
-k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl[T(r_{1})-T_{\infty}\bigr],
-\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{2}} = \frac{\dot Q'}{2\pi\,r_{2}}, \quad \dot Q'=400\:\mathrm{W/m}.

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