1.8 Calcule a massa específica do ar padrão a partir da equaçũo de estado do gás ideal. Estime a incerteza experimental na massa específica calculada para a condição padrăo ( 29,9 polegadas de mercúrio e 59^{\circ} \mathrm{F} ), considerando que a incerteza na medida da altura do barômetro \tilde{\epsilon} \pm 0,1 \mathrm{inHg} e a incerteza na medida da temperatura é \pm 0,5^{\circ} \mathrm{F}. (Note que 29,9 \mathrm{inHg} correspondem a 14,7 \mathrm{psia}.)

Passo 1

O enunciado pede a massa específica do ar padrão usando a equação de estado do gás ideal e a incerteza associada. O conteúdo é a lei dos gases ideais, dada por
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde \rho é a densidade, p a pressão absoluta, T a temperatura absoluta e R a constante específica do ar R=287\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}. Precisamos converter as medidas dadas em unidades compatíveis com SI.

Passo 2

Converter a pressão. Sabemos que 29,9\;\mathrm{inHg} corresponde a 14,7\;\mathrm{psia}. Para o SI:
p = 14,7\;\mathrm{psi}\times6{,}89476\times10^3\;\mathrm{Pa/psi} = 101{,}325\times10^3\;\mathrm{Pa}.

Passo 3

Converter a temperatura. Dada 59^\circ\mathrm{F}, em Kelvin:
T = (59 - 32)\times\frac{5}{9} + 273{,}15 = 15{,}00 + 273{,}15 = 288{,}15\;\mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a densidade nominal:
\rho = \frac{p}{R\,T} = \frac{101\,325}{287 \times 288{,}15} \approx 1{,}225\;\mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Estimar incertezas.
  • Incerteza na pressão: \pm0,1\;\mathrm{inHg}. Como 1\;\mathrm{inHg}\approx0,4916\;\mathrm{psi}, temos
\Delta p = 0,1\times0,4916\;\mathrm{psi}\times6{,}89476\times10^3\;\mathrm{Pa/psi} \approx 338{,}4\;\mathrm{Pa}.
  • Incerteza na temperatura: \pm0,5^\circ\mathrm{F}\Rightarrow\Delta T=0,5\times\frac{5}{9}\approx0,278\;\mathrm{K}. As deriva­das parciais são
\Delta \rho_p = \frac{\Delta p}{R\,T}, \qquad \Delta \rho_T = \frac{p\,\Delta T}{R\,T^2}.
Numericamente,
\Delta \rho_p=\frac{338{,}4}{287\times288{,}15}\approx0{,}00409\;\mathrm{kg/m^3}, \quad \Delta \rho_T=\frac{101\,325\times0{,}278}{287\times(288{,}15)^2}\approx0{,}00118\;\mathrm{kg/m^3}.
A incerteza total (propagação quadrática) é
\Delta \rho = \sqrt{(\Delta \rho_p)^2 + (\Delta \rho_T)^2} \approx \sqrt{0{,}00409^2 + 0{,}00118^2} \approx 0{,}00426\;\mathrm{kg/m^3}.

Resposta

A massa específica do ar padrão é
\rho = 1{,}225 \pm 0{,}0043\;\mathrm{kg/m^3}.

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