Exercício 2. Um tubo horizontal de diâmetro 4^{\prime \prime} conduz um produto a 85^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 1230 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O tubo é de aço, de coeficiente de condutibilidade térmica 40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}; tem 0,8 \mathrm{~m} de comprimento e está mergulhado num tanque de água a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 485 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas, circulares são feitas de chapa de aço, de 1 / 8 " de espessura e 2 " de altura. Pede-se:
a) o fluxo de calor pelo tubo, sem aletas;
b) a temperatura da superfície externa do tubo, sem aletas;
c) o fluxo de calor pelo tubo aletado, considerando a mesma temperatura calculada anteriormente na superfície externa.

Passo 1

O enunciado trata de troca de calor num tubo cilíndrico horizontal de diâmetro interno D_i=4''=0{,}1016\,\mathrm m e comprimento L=0{,}8\,\mathrm m. Há convecção interna com coeficiente h_i=1230\;\mathrm{Kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm m^2\cdot{^\circ\mathrm C} (produto a 85{^\circ\mathrm C}) e convecção externa com h_o=485\;\mathrm{Kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm m^2\cdot{^\circ\mathrm C} (água a 20{^\circ\mathrm C}). O tubo é de aço com k=40\;\mathrm{Kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm m\cdot{^\circ\mathrm C}, mas consideraremos parede infinitamente delgada (resistência de condução desprezível). Pede-se:
a) fluxo de calor sem aletas;
b) temperatura da superfície externa sem aletas;
c) fluxo de calor com 1,5 aletas por cm (total de 120 aletas em L), cada aleta tipo retangular de espessura t=1/8''=0{,}003175\,\mathrm m, altura L_f=2''=0{,}0508\,\mathrm m, usando a temperatura de superfície calculada no item b).

Passo 2

Sem aletas, a resistência total por unidade de área é
\frac1{U} \;=\; \frac1{h_i} \;+\;\frac1{h_o} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{U}=\frac1{1230}+\frac1{485}=0{,}002875\;\mathrm h\cdot\mathrm m^2\cdot{^\circ\mathrm C}/\mathrm{Kcal}
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U = \frac1{0{,}002875}=347{,}8\;\mathrm{Kcal}/\mathrm h\cdot\mathrm m^2\cdot{^\circ\mathrm C}.
A área externa do tubo é
A = \pi\,D_i\,L = \pi\cdot0{,}1016\cdot0{,}8 =0{,}2553\;\mathrm m^2.
O salto de temperatura é \Delta T=85-20=65{^\circ\mathrm C}. Então o fluxo é
Q_{\rm sem} = U\,A\,\Delta T =347{,}8\cdot0{,}2553\cdot65 \approx5\,775\;\mathrm{Kcal/h}.

Passo 3

A temperatura da superfície externa T_s vem de
Q_{\rm sem} = h_o\,A\,(T_s - 20) \quad\Longrightarrow\quad T_s = 20 + \frac{Q_{\rm sem}}{h_o\,A} =20 + \frac{5775}{485\cdot0{,}2553} \approx66{,}6{^\circ\mathrm C}.

Passo 4

Com aletas retangulares presas ao tubo, a transferência externa é aumentada.
Calculamos primeiro o parâmetro
m = \sqrt{\frac{2\,h_o}{k\,t}} = \sqrt{\frac{2\cdot485}{40\cdot0{,}003175}} \approx87{,}4\;\mathrm m^{-1},
e o comprimento de aleta L_f=0{,}0508\,\mathrm m
m\,L_f =87{,}4\cdot0{,}0508\approx4{,}44, \quad \eta_f = \frac{\operatorname{tanh}(m\,L_f)}{m\,L_f} \approx\frac{0{,}9997}{4{,}44}=0{,}2252.
Cada aleta tem área lateral em duas faces
A_{\rm f,1} =2\,( \pi\,D_i )\,L_f =2\cdot(\pi\cdot0{,}1016)\cdot0{,}0508 \approx0{,}03245\;\mathrm m^2.
No tubo há 1{,}5 aletas por cm, i.e.\ 150 por metro, logo em 0{,}8\,\mathrm m há 120 aletas e
A_{f,\rm tot} =120\cdot0{,}03245 =3{,}894\;\mathrm m^2.
A área efetiva das aletas é \eta_f A_{f,\rm tot}=0{,}2252\cdot3{,}894=0{,}8766\;\mathrm m^2.
Mantém-se a área de base do tubo A=0{,}2553\,\mathrm m^2. Portanto a área total efetiva é
A_{\rm eff}=A + \eta_f A_{f,\rm tot} =0{,}2553 + 0{,}8766 =1{,}1319\;\mathrm m^2.
O salto de temperatura externo agora é T_s-20=66{,}6-20=46{,}6{^\circ\mathrm C}, então
Q_{\rm com} = h_o\,A_{\rm eff}\,(T_s-20) =485\cdot1{,}1319\cdot46{,}6 \approx25\,620\;\mathrm{Kcal/h}.

Resposta

a) Q_{\rm sem}\approx5{,}775\;\mathrm{Kcal/h}.
b) T_s\approx66{,}6{^\circ\mathrm C}.
c) Q_{\rm com}\approx25{,}620\;\mathrm{Kcal/h}.

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