Água fria (
) conduzida a uma ducha entra em um trocador de calor de tubo duplo com parede fina em contracorrente a
, a uma taxa de
, e é aquecida com água quente (
) que entra a
a uma taxa de
. Considerando que o coeficiente global de transferência de calor é
e a área de troca térmica é
, determine a taxa de transferência de calor e as temperaturas de saída do fluido frio e do fluido quente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre trocadores de calor, que é aquela parte dos sistemas onde a gente troca calor entre dois fluidos sem que eles se misturem. Aqui, temos água fria entrando a 15°C e sendo aquecida, enquanto a água quente entra a 100°C e esfria. A gente precisa descobrir quanta energia está sendo transferida e quais são as temperaturas finais de cada água depois dessa troca.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a taxa de transferência de calor. A fórmula básica que vamos usar é:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor (em Watts, W)
- $ U $ é o coeficiente global de transferência de calor (950 W/m²K)
- $ A $ é a área de troca térmica (3,85 m²)
- $ \Delta T_{lm} $ é a diferença de temperatura média logarítmica
Passo 3
Como o trocador é contracorrente (os fluxos são opostos), a diferença de temperatura média logarítmica ($ \Delta T_{lm} $) é calculada assim:
Mas ainda não sabemos as temperaturas de saída. Então, vamos usar a conservação de energia para relacionar essas temperaturas.
Passo 4
A conservação de energia para cada fluido nos dá:
Para a água fria:
Para a água quente:
Como o calor ganho pela água fria é igual ao calor perdido pela água quente, podemos igualar as duas equações:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltando à equação do $ \Delta T_{lm} $. Assumindo que $ Q $ é conhecido, precisamos relacionar $ T_{fria,out} $ e $ T_{quente,out} $. Vamos usar a equação de energia para expressar $ Q $:
Mas ainda precisamos de uma segunda equação para resolver as duas incógnitas. Devido à complexidade, vamos assumir que as capacidades térmicas são tais que o equilíbrio é alcançado de forma que conseguimos resolver as temperaturas de saída usando as equações de energia diretamente.
Passo 7
Vamos resolver a equação (1) para $ T_{fria,out} $ em função de $ T_{quente,out} $:
Passo 8
Agora, substituímos $ T_{fria,out} $ na equação de $ Q $ para encontrar $ T_{quente,out} $. Usando a conservação de energia para a água quente:
E para a água fria:
Igualando as duas expressões para $ Q $:
Passo 9
Resolvendo a equação:
Levar todos os termos com $ T_{quente,out} $ para um lado:
Passo 10
Substituindo $ T_{quente,out} = 100°C $ na equação para $ T_{fria,out} $:
Resposta
A taxa de transferência de calor é de 209500 W. As temperaturas de saída são 15°C para a água fria e 100°C para a água quente.