Uma comporta vertical de 0,90m de diâmetro, trabalha sob pressão de Melado(densidade de 1,50 ) cuja superfície livre está
acima do topo da mesma, calcular o empuxo e a posicao do centro de pressão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma comporta vertical com 0,90 metros de diâmetro que está sob a pressão de um líquido chamado Melado, que tem densidade de 1,50 kg/m³. A superfície livre desse líquido está 2,40 metros acima do topo da comporta. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas: o empuxo (que é a força exercida pelo líquido na comporta) e a posição do centro de pressão (que indica onde exatamente essa força está atuando na comporta). Para resolver isso, vamos usar conceitos de Hidrostática, que estuda os fluidos em equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o empuxo. O empuxo é a força que um fluido exerce sobre uma superfície imersa nele devido à pressão exercida pelo fluido. A pressão em um ponto de um fluido em repouso depende da profundidade desse ponto. A fórmula para a pressão $ p $ em uma profundidade $ h $ é:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do fluido (1,50 kg/m³),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²),
- $ h $ é a profundidade.
Passo 3
Como a comporta é vertical e tem 0,90 metros de diâmetro, vamos considerar que a altura $ H $ do líquido sobre a comporta é de 2,40 metros. Para encontrar o empuxo total, precisamos integrar a pressão sobre a área da comporta. A fórmula simplificada para o empuxo $ E $ em uma superfície plana vertical é:
Onde:
- $ A $ é a área da superfície,
- $ h_{cg} $ é a altura do centro de gravidade da pressão, que para uma superfície plana vertical é $ \frac{H}{2} $.
Passo 4
Vamos calcular a área $ A $ da comporta. Como a comporta é circular com diâmetro de 0,90 m, o raio $ r $ é metade disso:
A área $ A $ de uma circunferência é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a profundidade média $ h_{cg} $ onde atua a força. Como a superfície livre está 2,40 m acima do topo da comporta, a profundidade média será a metade disso:
Passo 6
Agora, substituímos todos os valores na fórmula do empuxo:
Calculando passo a passo:
Passo 7
Então, o empuxo total $ E $ é aproximadamente 11,25 N.
Passo 8
Agora, vamos calcular a posição do centro de pressão. A posição do centro de pressão $ y_{cp} $ para uma superfície plana vertical é dada por:
Onde $ I_{G} $ é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal.
Para uma superfície retangular de altura $ H $ e largura $ b $, o momento de inércia é:
No nosso caso, a largura $ b $ é o diâmetro da comporta (0,90 m) e a altura $ H $ é a profundidade do líquido (2,40 m).
Passo 9
Calculando $ I_{G} $:
Passo 10
Agora, substituímos $ I_{G} $, $ A $ e $ h_{cg} $ na fórmula de $ y_{cp} $:
Calculando:
Resposta
O empuxo exercido pelo Melado na comporta é aproximadamente 11,25 N e a posição do centro de pressão está a 2,56 metros abaixo da superfície livre do líquido.