Água ( gamma=62,4 lbf / ft^3 ) escoa, de modo plenamente desenvolvido, num tubo com 1 ft de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede é 1,85 l b f / in ^2. Determine o gradiente de pressão, onde x é a direção do escoamento, se o tubo for (a) horizontal, (b) vertical com escoamento ascendente e © vertical com escoamento descendente.
(Sol.: a) partial Ppartial x=-7,4 l b f / f t^3 ; b) partial Ppartial x=-69,8 l b f / f t^3 ; c) partial Ppartial x=-55 l b f / f t^3 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre água escoando num tubo de 1 pé de diâmetro sob diferentes orientações. A gente precisa encontrar o gradiente de pressão, que é como a pressão muda ao longo do tubo na direção do fluxo. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre escoamento desenvolvido e tensão de cisalhamento na parede do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de pressão. Ele representa a variação da pressão ao longo do fluxo e é responsável por manter a água escoando. A fórmula que relaciona o gradiente de pressão ( partial Ppartial x), a tensão de cisalhamento ( tau) e o diâmetro do tubo ( D) é:
partial Ppartial x = -4 tauD
Aqui, o sinal negativo indica que a pressão está diminuindo na direção do fluxo.

Passo 3

Vamos calcular partial Ppartial x usando os dados fornecidos:
  • Tensão de cisalhamento ( tau) = 1,85 lbf/in²
  • Diâmetro do tubo ( D) = 1 ft = 12 in
Substituindo na fórmula:
partial Ppartial x = -4 times 1,85 , lbf/in²12 , in = -7,4 , lbf/in12 = -0,6167 , lbf/in³ ²³
Para converter para lbf/ft³, multiplicamos por 12^3 = 1728:
-0,6167 , lbf/in³ times 1728 = -1065,6 , lbf/ft³ ³³
Agora, vamos considerar as diferentes orientações do tubo:
(a) Horizontal: Não há influência da gravidade, então o gradiente de pressão é apenas o que calculamos acima.
(b) Vertical com escoamento ascendente: A gravidade age contra o fluxo, aumentando o gradiente de pressão necessário.
© Vertical com escoamento descendente: A gravidade age a favor do fluxo, diminuindo o gradiente de pressão necessário.

Resposta

(a) partial Ppartial x = -7,4 , lbf/ft³³
(b) partial Ppartial x = -69,8 , lbf/ft³³
© partial Ppartial x = -55 , lbf/ft³³

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