Um recipiente cilíndrico de purê de pera tem um diâmetro de
e uma altura de 101,6 mm e está inicialmente a uma temperatura uniforme de
. Alguns recipientes estão empilhados verticalmente sendo atravessados por um fluxo de vapor a
. Para um tempo de aquecimento de
a
, calcule a temperatura no centro do recipiente. Assuma que a vasilha está no centro de uma pilha vertical de recipientes e que ela está isolada em sua base pelas demais vasilhas. O calor específico da parede do metal do recipiente será desprezado. O coeficiente convectivo de transferência de calor é estimado em
.
Propriedades físicas do purê:
Propriedades físicas do purê:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver isso.
Enunciado resumido: Temos um recipiente cilíndrico cheio de purê de pera com diâmetro de 68,1 mm e altura de 101,6 mm, inicialmente a 29,4°C. Esse recipiente está empilhado e sendo aquecido por vapor a 115,6°C por 0,75 horas (45 minutos). Queremos descobrir qual será a temperatura no centro do recipiente após esse tempo de aquecimento.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção, especificamente a condução de calor em sólidos e líquidos, e o uso de coeficiente de transferência convectiva.
O que vamos precisar para resolver:
- Fórmulas de condução de calor em cilindros.
- Conceitos de transferência de calor por convecção.
- Cálculo do número de Biot para verificar se podemos simplificar o problema.
- Propriedades térmicas do purê de pera fornecidas (condutividade térmica e difusividade térmica).
- Tempo de aquecimento e coeficiente de transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número de Biot (Bi) para verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance method). O número de Biot ajuda a determinar se a resistência ao fluxo de calor dentro do objeto é muito menor que a resistência na sua superfície.
A fórmula do número de Biot é:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência convectiva (4540 W/m².K)
- $ L_c $ é o comprimento característico
- $ k $ é a condutividade térmica do material (0,830 W/m.K)
Para um cilindro, o comprimento característico $ L_c $ é dado por:
Onde:
- $ V $ é o volume do cilindro
- $ A_{superfície} $ é a área superficial do cilindro
Vamos calcular $ V $ e $ A_{superfície} $:
Primeiro, convertemos as medidas de mm para metros:
- Diâmetro $ D = 68,1 $ mm = 0,0681 m
- Raio $ r = D/2 = 0,03405 $ m
- Altura $ H = 101,6 $ mm = 0,1016 m
Volume $ V $:
Área superficial $ A_{superfície} $:
Agora, calculamos $ L_c $:
Agora, calculamos o número de Biot:
Como $ Bi > 0,1 $, o método de capacitância concentrada não é aplicável. Isso significa que precisamos considerar a distribuição de temperatura dentro do recipiente, ou seja, a condução de calor é significativa e não podemos simplificar para uma única temperatura uniforme.
Passo 3
Dado que o número de Biot é grande, precisamos usar a equação de condução de calor tridimensional para um cilindro. No entanto, para simplificar, podemos considerar a simetria do problema e focar na direção radial, já que estamos interessados na temperatura no centro.
A solução exata para a temperatura em um ponto dentro de um cilindro sujeito a convecção na superfície é um pouco complexa e envolve séries de Bessel. Mas vamos simplificar utilizando a solução por separação de variáveis e focar nos primeiros termos que mais contribuem.
A mudança de temperatura no tempo pode ser descrita pela equação de difusão de calor:
Onde:
- $ T $ é a temperatura
- $ t $ é o tempo
- $ \alpha $ é a difusividade térmica (2,007 × 10⁻⁷ m²/s)
- $ r $ é a coordenada radial
As condições de fronteira são:
- No centro ($ r = 0 $), a derivada radial de $ T $ é zero devido à simetria.
- Na superfície ($ r = R $), ocorre convecção com temperatura do vapor.
Para resolver essa equação, a solução para a temperatura no centro ($ r = 0 $) após um tempo $ t $ pode ser aproximada pela primeira termo da série:
Onde:
- $ T_{\infty} $ é a temperatura do vapor (115,6°C)
- $ T_i $ é a temperatura inicial (29,4°C)
- $ \beta = h R / k $
- $ j_0 $ são as raízes dos modos próprios de Bessel para o problema
- $ \alpha_n $ são os valores próprios associados aos modos
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série ($ n = 1 $):
Passo 4
Primeiro, vamos calcular $ \beta $:
Onde:
- $ h = 4540 , W/m².K $
- $ R = 0,03405 , m $ (raio)
- $ k = 0,830 , W/m.K $
Agora, precisamos do primeiro valor próprio de $ \alpha_n $, que para $ n = 1 $ em condições de convecção é aproximadamente $ \alpha_1 \approx 1,875 $.
Agora, vamos calcular o termo exponencial:
Primeiro, convertemos o tempo $ t = 0,75 $ horas para segundos:
Agora, substituímos os valores:
Então,
Calculando o numerador:
Dividindo pelo denominador:
Então,
Agora, substituímos na equação da temperatura:
Calculando $ \frac{8}{(186,2)^2} $:
Então,
Agora, isolamos $ T(0, t) $:
Resposta
Após 0,75 horas de aquecimento, a temperatura no centro do recipiente permanece aproximadamente 29,4°C.