Um recipiente cilíndrico de purê de pera tem um diâmetro de 68,1 mm e uma altura de 101,6 mm e está inicialmente a uma temperatura uniforme de 29,4^circ C. Alguns recipientes estão empilhados verticalmente sendo atravessados por um fluxo de vapor a 115,6^circ C. Para um tempo de aquecimento de 0,75 h a 115,6^circ C, calcule a temperatura no centro do recipiente. Assuma que a vasilha está no centro de uma pilha vertical de recipientes e que ela está isolada em sua base pelas demais vasilhas. O calor específico da parede do metal do recipiente será desprezado. O coeficiente convectivo de transferência de calor é estimado em 4540 W / m^2 K.
Propriedades físicas do purê:
k=0,830 W / mK, alpha=2,007 cdot 10^-7 m^2 / s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver isso.
Enunciado resumido: Temos um recipiente cilíndrico cheio de purê de pera com diâmetro de 68,1 mm e altura de 101,6 mm, inicialmente a 29,4°C. Esse recipiente está empilhado e sendo aquecido por vapor a 115,6°C por 0,75 horas (45 minutos). Queremos descobrir qual será a temperatura no centro do recipiente após esse tempo de aquecimento.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção, especificamente a condução de calor em sólidos e líquidos, e o uso de coeficiente de transferência convectiva.
O que vamos precisar para resolver:
  • Fórmulas de condução de calor em cilindros.
  • Conceitos de transferência de calor por convecção.
  • Cálculo do número de Biot para verificar se podemos simplificar o problema.
  • Propriedades térmicas do purê de pera fornecidas (condutividade térmica e difusividade térmica).
  • Tempo de aquecimento e coeficiente de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número de Biot (Bi) para verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance method). O número de Biot ajuda a determinar se a resistência ao fluxo de calor dentro do objeto é muito menor que a resistência na sua superfície.
A fórmula do número de Biot é:
Bi = h cdot Lck
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de transferência convectiva (4540 W/m².K)
  • $ L_c $ é o comprimento característico
  • $ k $ é a condutividade térmica do material (0,830 W/m.K)
Para um cilindro, o comprimento característico $ L_c $ é dado por:
h í
Onde:
  • $ V $ é o volume do cilindro
  • $ A_{superfície} $ é a área superficial do cilindro
Vamos calcular $ V $ e $ A_{superfície} $:
Primeiro, convertemos as medidas de mm para metros:
  • Diâmetro $ D = 68,1 $ mm = 0,0681 m
  • Raio $ r = D/2 = 0,03405 $ m
  • Altura $ H = 101,6 $ mm = 0,1016 m
Volume $ V $:
Lc ³
Área superficial $ A_{superfície} $:
k í²
Agora, calculamos $ L_c $:
Lc í
Agora, calculamos o número de Biot:
Lc = VAsuperfície
Como $ Bi > 0,1 $, o método de capacitância concentrada não é aplicável. Isso significa que precisamos considerar a distribuição de temperatura dentro do recipiente, ou seja, a condução de calor é significativa e não podemos simplificar para uma única temperatura uniforme.

Passo 3

Dado que o número de Biot é grande, precisamos usar a equação de condução de calor tridimensional para um cilindro. No entanto, para simplificar, podemos considerar a simetria do problema e focar na direção radial, já que estamos interessados na temperatura no centro.
A solução exata para a temperatura em um ponto dentro de um cilindro sujeito a convecção na superfície é um pouco complexa e envolve séries de Bessel. Mas vamos simplificar utilizando a solução por separação de variáveis e focar nos primeiros termos que mais contribuem.
A mudança de temperatura no tempo pode ser descrita pela equação de difusão de calor:
partial Tpartial t = alpha ( 1r partialpartial r ( r partial Tpartial r ) )
Onde:
  • $ T $ é a temperatura
  • $ t $ é o tempo
  • $ \alpha $ é a difusividade térmica (2,007 × 10⁻⁷ m²/s)
  • $ r $ é a coordenada radial
As condições de fronteira são:
  • No centro ($ r = 0 $), a derivada radial de $ T $ é zero devido à simetria.
  • Na superfície ($ r = R $), ocorre convecção com temperatura do vapor.
Para resolver essa equação, a solução para a temperatura no centro ($ r = 0 $) após um tempo $ t $ pode ser aproximada pela primeira termo da série:
T
Onde:
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura do vapor (115,6°C)
  • $ T_i $ é a temperatura inicial (29,4°C)
  • $ \beta = h R / k $
  • $ j_0 $ são as raízes dos modos próprios de Bessel para o problema
  • $ \alpha_n $ são os valores próprios associados aos modos
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série ($ n = 1 $):
t

Passo 4

Primeiro, vamos calcular $ \beta $:
beta
Onde:
  • $ h = 4540 , W/m².K $
  • $ R = 0,03405 , m $ (raio)
  • $ k = 0,830 , W/m.K $
beta = h Rk
Agora, precisamos do primeiro valor próprio de $ \alpha_n $, que para $ n = 1 $ em condições de convecção é aproximadamente $ \alpha_1 \approx 1,875 $.
Agora, vamos calcular o termo exponencial:
h = 4540 , W/m²K
Primeiro, convertemos o tempo $ t = 0,75 $ horas para segundos:
R = 0,03405 , m
Agora, substituímos os valores:
k = 0,830 , W/mK ²
beta = 4540 times 0,034050,830 approx 154,5870,830 approx 186,2
alphan ²
Então,
n = 1
Calculando o numerador:
alpha1 approx 1,875
Dividindo pelo denominador:
exp( -alpha1^2 alpha t / R^2 )
Então,
t = 0,75
Agora, substituímos na equação da temperatura:
t = 0,75 times 3600 = 2700 , s
Calculando $ \frac{8}{(186,2)^2} $:
alpha = 2,007 times 10^-7 , m²/s
Então,
alpha1^2 = (1,875)^2 approx 3,516
Agora, isolamos $ T(0, t) $:
R^2 = (0,03405)^2 approx 0,001158 , m²
-alpha1^2 alpha t / R^2 = -3,516 times 2,007 times 10^-7 times 27000,001158
3,516 times 2,007 times 10^-7 times 2700 approx 1,906 times 10^-3
- 1,906 times 10^-30,001158 approx -1,647

Resposta

Após 0,75 horas de aquecimento, a temperatura no centro do recipiente permanece aproximadamente 29,4°C.

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