Agua de um lago é bombeada por uma bomba de 4,8 kW e eficiência de 72 % para um reservatório cuja superficie livre está 28 m acima do nivel da àgua da represa. O diämetro do tubo é de 7,0 cm na entrada e 5,0 cm na saida. Determine (a) a vazâo máxima da água e (b) a diferença de pressâo através da bomha_

Passo 1

O enunciado descreve uma bomba de potência elétrica Prm in=4,8 kW e eficiência eta=72% que eleva água de um lago até um reservatório com superfície livre 28 m acima do nível do lago. O tubo tem diâmetro de 7,0 cm na sucção e 5,0 cm na descarga. Vamos usar o princípio da energia (Bernoulli) mais o balanço de potência da bomba:
Prm hid= rho,g,Q,H,
onde Prm hid=eta,Prm in é a potência hidráulica útil, Q a vazão volumétrica e H a altura equivalente (incluindo terminais de velocidade).

Passo 2

Calculamos a potência hidráulica útil:
Prm hid=eta,Prm in=0,72times4,8times10^3 W=3,456times10^3 W
Tomamos rho=1000 kg/m^3 e g=9,81 m/s^2.

Passo 3

Escrevemos o “head” total necessário como
H = De<a z + v2^2 - v1^22,g,
com De<a z=28 m, e v1=Q/A1,;v2=Q/A2. As áreas são
A1 = pi4(0,07)^2 m^2, A2 = pi4(0,05)^2 m^2
O balanço de potência é
rho,g,Q,l(28 + v2^2 - v1^22gr) = Prm hid

Passo 4

Substituindo vi=Q/Ai e rearranjando, obtemos a equação em Q:
rho2l(1A2^2-1A1^2r)Q^3 +rho,g,(28),Q - Prm hid=0
Calculamos numericamente
A1approx3,85times10^-3 m^2, A2approx1,96times10^-3 m^2,
rho2l(1A2^2-1A1^2r)approx9,61times10^7, rho g,28approx2,7468times10^5,
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9,61times10^7,Q^3 +2,7468times10^5,Q -3,456times10^3=0

Passo 5

Resolvendo numericamente a cúbica por tentativa (método de Newton ou palpites), encontra-se
Qapprox1,20times10^-2 m^3/s

Passo 6

Para a diferença de pressão na bomba usamos
De<a p = p2 - p1 = rho,g,De<a z + rho2l(v2^2 - v1^2r)
Com Q=0,0120 m^3/s temos
v1=0,01203,85times10^-3approx3,12 m/s, v2=0,01201,96times10^-3approx6,12 m/s,
rho,g,28approx2,7468times10^5 Pa, rho2(v2^2-v1^2)approx1,383times10^4 Pa,
De<a papprox2,7468times10^5+1,383times10^4approx2,885times10^5 Pa

Resposta

(a) Qapprox1,20times10^-2 m^3/s
(b) De<a papprox2,89times10^5 Pa

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